高考数学母题：基底向量下的平面法向量.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 基底向量下的平面法向量 “不规则”几何体问题的解法 平面的法向量是利用向量解决立体几何问题的核心,解决基底向量下的平面法向量问题,将打开基底向量法应用的广泛范围,为解决“不规则”几何体的问题提供一种全新方法. [母题结构]:己知空间基底向量e1,e2,e3满足|e1|=a,|e2|=b,|e3|=c,e1e2=m,e2e3=n,e3e1=k,在此基底向量下,求平面α的法向量m. [解题程序]:①设m=(x,y,z),并在平面α内取两个不共线的向量a与b;②用基底向量e1,e2,e3表示向量a与b;③由am=0,且bm=0,建立关于x,y,z的方程组,取满足x2+y2+z2≠0的方程组的其中一组解,即得平面α的法向量m. 1.折叠角公式 子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅰ高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600. (Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. [解析]:(Ⅰ)设AB=AA1=a,CA=CB=c,=a,=b,=c,则|a|=|b|=a,|c|=c,ab=a2,=c-b,=c-a,由||=c bc=b2=a2=b(c-a)=bc-ab=0AB⊥A1C; (Ⅱ)由AB=CBa=c,设a=c=2,则|a|=|b|=|c|=2,ab=bc=2;又由平面ABC⊥平面AA1B1Bcos∠A1AC=cos∠A1ABcos∠BAC ac=1;设平面BB1C1C的法向量m=xa+yb+zc,由m=0,m=0(xa+yb+zc)(c-b)=0,(xa+yb+zc)a=0-x-2y+2z= 0,4x+2y+z=0,取x=2得y=-3,z=-2m=2a-3b-2c|m|=2,||=|c-a|=,m=-12正弦值=|cosm,| =. [点评]:基底向量法常与折叠角公式有关,折叠角公式又称为最小角定理:如图,若平面OAB⊥ 平面ABC.∠OAB=θ1,∠BAC=θ2,∠OAC=θ,则cosθ=cosθ1cosθ2.其证明如下:设AO=1,由|| =||cosθ1=cosθ1,||=||cosθ2=cosθ1cosθ2;又||=||cosθ=cosθcosθ=cosθ1cosθ2. 2.平面法向量 子题类型Ⅱ:(2014年辽宁高考试题)如图,ΔABC和ΔBCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2, ∠ABC=∠DBC=1200,E、F分别为AC、DC的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥BC; (Ⅱ)求二面角E-BF-C的正弦值. [解析]:(Ⅰ)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=2,ab=bc=2;由cos∠ABD=cos600cos600ac=1;又由== (a-c)=(a-c)b=(ab-bc)=0⊥EF⊥BC; (Ⅱ)设平面BEF的法向量m=xa+yb+zc,由m=0,m=0(xa+yb+zc)(b+c)=0,(xa+yb+zc)(a+b)=0x+2y+2z=0,2x +2y+z=0,取x=2得y=-3,z=2m=2a-3b+2c|m|=2;由平面ABC⊥平面BCD,可设平面BCD的法向量n=yb+zc,由nb=0 2y+z=0,取y=1得z=-2n=b-2c|n|=2,mn=-12cosm,n=-二面角E-BF-C的正弦值=. [点评]:基底向量下的平面法向量的求解方法与解析向量下的平面法向量的求解方法类似;对于特殊平面的法向量,可通过分析该特殊平面的法向量可与哪两个基底向量共面,并设出法向量由这两个基底向量的线性表示式,然后,在平面内取一向量,由它与平面法向量的数量积为0,求法向量. 3.解决相关问题 子题类型Ⅲ:(2004年全国Ⅰ高考试题)如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为 边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为1200. (Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离; (Ⅱ)求面PAB与面CPB所成二面角的余弦值. [解析]:(Ⅰ)如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O,设OB与AD交于点E,由AD⊥PBAD⊥OB 点E为AD的中点,∠PEO=600PE=点P到平面ABCD的距离=PO=; (Ⅱ)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=2,ab=bc=2;由PE=3|a-c|=3ac=-;设平面 PAB的法向量m=xa+yb+zc,由m=0,m=08x+4y-z=0,-x+4y+8z=0m=4a-7b+4c,同理可得平面PBC的法向量n= a-b+ccosm,n=-面PAB与面CPB所成二面角