高考数学母题：基底向量表示向量式中的系数公式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 基底向量表示向量式中的系数公式 关于=λ+μ的一个母题 与=λ+μ有关的问题(已知,,,研究λ,μ,λ+μ;或已知=λ+μ,研究相关问题)是高考的热点,为直接统一的解决该类问题,我们构造母题如下: [母题结构]:已知、是平面内的两个不共线的向量,||=a,||=b,,=θ,动点P满足:||=t, ,=α,直线OP与AB交于点Q.若=λ+μ,则λ=,μ=,λ+μ=(当与同向时取“+”,当与反向时取“-”). [母题解析]:由=λ+μ=λ2+μ,=λ+μ2atcosα=λa2+ μabcosθ,btcos(θα)=λabcosθ+μb2tcosα=aλ+μbcosθ,tcos(θα)=λacosθ+μbλ=,μ=;由=λ+μ=+= λ+μ=(当与同向时取“+”,当与反向时取“-”). 1.系数的值 子题类型Ⅰ:(2009年湖南高考试题)如图,两块斜边长相等的直角三角板 拼在一起,若,则x= ;y= . [分析]:设a=AB=2,b=AC=2,θ=∠BAC=900,α=∠BAD,可求x,y. [解析]:设AB=2,则DE=BC=2BD=AD2=(10+4)AD=cosα=x=1+,y=. [点评]:若=λ+μ,则λ=,μ=,其中,当点P在∠AOB内部时,λ中取“-”,μ中取“+”; 当点P在∠AOB外部时,λ中取“+”,μ中取“-”. 2.系数的和 子题类型Ⅱ:(2009年安徽高考试题)给定两个长度为1的平面向量和, 它们的夹角为1200.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变功,若=x +y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 . [分析]:连接AB交OC于D,则x+y==,故只要求|OD|的最小值. [解析]:连接AB交OC于D,则x+y==,当且仅当OD⊥AB时,|OD|最小;在ΔOAB中,OA=OB=1,∠AOB=1200 ∠OAD=300|OD|=|OA|=x+y的最大值是2. [点评]:由λ+μ=,把系数和与线段比建立联系,不仅可以巧妙的解决系数和问题,而且还可以解决一类面积比. 3.面积的比 子题类型Ⅲ:(2006年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设P为△ABC内一点,且=+,则△ABP的面积与△ABC的面积之比为( ) (A) (B) (C) (D) [分析]:设直线CP与AB交于D,由=+=+=+=,由此可解. [解析]:设直线CP与AB交于D,由=++=(+)+=+= +=△ABP的面积与△ABC的面积之比==1-=.故选(A). [点评]:利用系数和易得:若P为△ABC内一点,且=λ+μ,则△PBC的面积与△ABC的面积之比=1-(λ+μ). 4.子题系列: 1.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知=a,=b,过O作直线AB的垂线,垂足为P,若|a|=3,|b|=,∠AOB =,=xa+yb,则x-y= . 2.(2006年福建高考试题)己知||=1,||=,=0点C在∠AOB内,且∠AOC=300,若=m+n(m,n∈R),则=( ) (A) (B)3 (C) (D) 3.(2009年安徽高考试题)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若= λ+η,其中λ,η∈R,则λ+μ= . 4.(2007年陕西高考试题)如图,平面内有三个向量、、,其中与的夹角为1200,与 的夹角为300,且==1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 . 5.(2004年全国高中数学联赛试题)设O点在三角形ABC内部,且有+2+3=0,则△ABC的面积与△A0C的面积的比为( ) (A)2 (B) (C)3 (D) 6.(2006全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知P为△ABC内一点,且满足3+4+6=0,那么,△PAB、△PBC、△PCA的面积之比为 . 4.子题详解: 1.解:由3x==-x=-;y==y=x-y=-2. 2.解:由m==t,n==t=3.故选(B). 3.解:连接EF交AC于M,则λ+μ==. 4.解:连接AB交OC于D,在ΔOAB中,OA=OB=1,∠AOB=1200∠OAD=300,又∠AOD=300OD=λ+μ==6. 5.解:由+2+3=0=+△ABC的