高考数学母题：基本数列.docVIP

基本数列 1 基本数列 等差与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是竞赛命题的生长点,分类讨论如下: 1.等差数列: 例1:(2009年全国高中数学福建初赛联赛试题)已知f(x)=,方程f(x)=-4x+8有两个不同的正根,且一根是另一根的3倍.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,且=f(n)(n=1,2,3,…). (Ⅰ)设g(n)=(n=1,2,3,…),求g(n)的最大值; (Ⅱ)若a1=,数列{bn}的公差为3,探究在数列{an}与{bn}中是否存在相等的项.若有,求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{cn}的通项公式,若没有,请说明理由. 解析: 类题: 1.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题){an}、{bn}为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,若=. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求使为整数的所有正整数n. 2.(2008年全国高中数学贵州初赛联赛试题)对数列{an},规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列,其中△an=an+1-an(n∈N*).对正整数k,规定{△kan}为{an}的k阶差分数列,其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△(△k-1an). (Ⅰ)若数列{an}首项a1=1,且满足△2an-△an+1+an=-2n,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)对(Ⅰ)中的数列{an},是否存在等差数列{bn},使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切正整数n∈N*都成立？若存在,求数列{bn}的通项公式;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)令cn=(2n-1)bn,设Tn=++…+,若TnM恒成立,求最小的正整数M的值. 2.差中不等: 例2:(1999年全国高中数学联赛试题)给定正整数n和正数M,对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值. 解析: 类题: 1.(2000年全国高中数学联赛试题)设Sn=1+2+3+…+n,n?N,求f(n)=的最大值. 2 基本数列 2.(2008年全国高中数学浙江初赛联赛试题)设非负等差数列{an}的公差d≠0,记Sn为数列{an}的前n项和,证明: (Ⅰ)若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则+≥; (Ⅱ)若a503≤,则2008. 3.等比数列: 例3:(2008年全国高中数学福建初赛联赛试题)设x1,x2,…是不同的正实数.证明:x1,x2,…是一个等比数列的充分必要条件是对所有整数n(n≥2),都有=. 解析: 类题: 1.(2011年全国高中数学甘肃初赛联赛试题)已知正项数列{an}满足:①a1=2012;②a2,a3是整数;③数列{nan-n2}是公比不大于10的等比数列,求数列{an}的通项公式. 2.(2010年全国高中数学河南初赛联赛试题)设首项为a1的正项数列{an}的前n项和为Sn,q为非零常数.已知对任意正整数n,m,当nm时,Sn-Sm=qmSn-m总成立. (Ⅰ)求证:数列{an}是等比数列; (Ⅱ)若正整数m,k,h成等差数列,求证:+≥. 4.差比综合: 例4:(2009年第20届全国希望杯高二数学邀请赛试题)数列{an}是各项均为正数的等差数列,前n项的和为Sn.数列{bn}是等比数列,且满足b1=a1=1,b3S3=144,{}的公比＝16,求数列{an},{bn}的通项公式. 解析: 类题: 1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知整数列{an}满足a3=-1,a7=4,前6项依次成等差数列,从第5项起依次 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求出所有的正整数m,使得am+am+1+am+2=amam+1am+2. 2.(2009年全国高中数学甘肃初赛联赛试题)设a1、a2、a3成等差数列,a1+a2+a3=15;b1、b2、b3成等比数列,b1b2b3=27.若a1+b1、a2+b2、a3+b3是正整数且成等比数列,求a3的最大值. a11 a12 a13 a14 … a1n a21 a22 a23 a24 … a2n a31 a32 a33 a34 … a3n a41 a42 a43 a44 … a4n … … … … … … an1 an2 an3 an4 … ann 基本数列