高考数学母题：基本数列的交汇三类典型高考题.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 169 [中国高考数学母题](第050号) 基本数列的交汇.三类典型高考题 在知识的交汇处设计试题,是高考命题的重要原则,其中,与基本数列(等差与等比数列)的自然交汇有:数列与基本不等式、整值函数的最值问题和等差数列与对称函数. [母题结构]:(Ⅰ)(数列与基本不等式)①若数列{an}是正项等差数列,则an+k≥,+≤2;②若数列{an}是等比数列,则an-k2+an+k2≥2an2;若数列{an}正正项等比数列,且|m-n||k-t|,则am+anak+at; (Ⅱ)(整值函数的最值问题)求整值函数f(n)(n∈N)的最大值和最小值有两种方法:①根据f(n+1)-f(n)的符号,判断f(n)的单调性,由此求解;②先求f(x)的最大值或最小值x0∈(m,m+1),然后通过比较f(m)与f(m+1)的大小确定解; (Ⅲ)(等差数列与对称函数)已知函数f(x)在区间(a,b)上单调,且图像关于点M(x0,y0)对称,等差数列{an}满足an∈(a,b),若f(a1)+f(a2)+…+f(a2n-1)=(2n-1)y0,则:①an=x0;②f(an)=y0;③a1+a2+…+a2n-1=(2n-1)x0; [母题解析]:略. 1.数列与基本不等式 子题类型Ⅰ:(2010年天津高考试题)设{an}是等比数列,公比q=,Sn为{an}的前 n项和,记Tn=,n∈N+.设 T为数列{Tn}的最大项,则n0= . [解析]:由Tn=;设qn=t,则Tn=-(t+-17)≤,当t=()n=4n=4时,故n0=4. [点评]:数列与基本不等式的交汇还包括等比数列与双曲函数的结合,即利用双曲函数性质解决等比数列的相关问题. [同类试题]: 1.(2015年北京高考试题)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( ) (A)若a1+a20,则a2+a30 (B)若a1+a30,则a1+a20 (C)若0a1a2,则a2 (D)若a10,则(a2-a1)(a2-a3)0 2.(2008年四川高考试题)己知等比数列{an}中,a2=1,则其前3项和S3的取值范围是( ) (A)(-∞,-1] (B)(-∞,0)∪(1,+∞) (C)[3,+∞) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞) 2.整值函数的最值问题 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅱ高考试题)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 . [解析]:设Sn=An2+Bn,由S10=0,S15=2510A+B=0,45A+3B=5A=,B=-nSn=n3-n2;令f(n)=n3-n2,由f(n+ 1)-f(n)=n2-n-30n≤7f(n)的最小值=f(7)=-49nSn的最小值=-49. [点评]:研究整值函数f(n)(n∈N)的单调性,除作差比较外,还可以作商比较,由此,确定f(n)的最大值和最小值. [同类试题]: 3.(2016年高考全国乙卷试题)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 4.(2013年江苏高考试题)在正项等比数列{an}中,a5=,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+ana1a2…an的最大正整数n的值为 . 3.等差数列与对称函数 子题类型Ⅲ:(2009年上海高考试题)已知函数f(x)=sinx+tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈(-,),且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0,则当k 时,f(ak)=0. 170 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [解析]:由f(x)单调递增,且为奇函数,由母题知f(a14)=0k=14. [点评]:由an-k+an+k=2an知,等差数列具有较好的对称性,母题是等差数列的对称性与函数对称性的有机结合. [同类试题]: 5.(2011年广东高考试题)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= . 6.(2012年四川高考理科试题)设函数f(x)=2x-cosx,{an}是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,则[f(a3)]2-a1a5=( ) (A)0 (B)π2 (