高考数学母题：三角形中的不等式.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-57):三角形中的不等式(757) 0127 三角形中的不等式 [母题]Ⅱ(Ⅰ-57):(三角形的母不等式)对于任意正数x,y,z及△ABC的三内角A、B、C,有:①x2+y2+z2≥2yz cosA+2zxcosB+2xycosC;②x2+y2+z2+2yzcos2A+2zxcos2B+2xycos2C≥0. [解析]:①由x2+y2+z2-2yzcosA-2zxcosB-2xycosC=x2+(sin2C+cos2C)y2+(sin2B+cos2B)z2+2yzcos(B+C)-2zxcosB-2xycosC= x2+(sin2C+cos2C)y2+(sin2B+cos2B)z2+2yzcosBcosC-2yzsinBsinC-2zxcosB-2xycosC=(x2+y2cos2C+z2cos2B-2zxcosB-2xycosC+2yzcosBcosC)+(y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC)=(x-zcosB-ycosC)2+(ysinc-zsinB)2≥0; ②由x2+y2+z2+2yzcos2A+2zxcos2B+2xycos2C=(x+zcos2B+ycos2C)2+(ysin2c-zsin2B)2≥0. [点评]:三角形中的不等式包括:①仅含三角形边长的不等式;②仅含三角形内角的不等式;③即含三角形边长,又含三角形内角的不等式. [子题](1):(1964年国际数学奥林匹克(IMO)试题)设a,b,c为一三角形的三边长,证明:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+ b-c)≤3abc. [解析]:设a=y+z,b=z+x,c=x+y,x,y,z∈R+,则a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc2(y+z)2x+2(z+x)2y+2(x+y)2z≤ 3(x+y)(y+z)(z+x)(2xy2+4xyz+2z2x)+(2yz2+4xyz+2x2y)+(2zx2+4xyz+2y2z)≤3(z2x+x2z+2xyz+x2y+yz2+y2z+xy2)z2x+ x2z+x2y+yz2+y2z+xy2≥6xyz;由z2x+yz2≥2xyz,y2z+xy2≥2xyz,x2z+x2y≥2xyz,三式相加即证. 注:对于仅含三角形边长的不等式,可以通过设a=y+z,b=z+x,c=x+y,x,y,z∈R+,进行换元解决. [子题](2):(2013年全国高中数学联赛江西初赛试题)在非钝角三角形ABC中,证明:sinA+sinB+sinC2. [解析]:(法一)由sinA+sinB+sinC-2=sinA+sinB+sin(A+B)-2sin(+)=2sincos+2sincos -2sincos-2cossin=2sin(cos-cos)+2cos(sin-sin)=4sinsincos+ 2cos(cos-sin)(由0cossin)0sinA+sinB+sinC2. (法二)令x=tan,y=tan,z=tan,则xy+yz+zx=11+x2=(x+y)(x+z),1+y2=(y+x)(y+z),1+z2=(z+x)(z+y),且sinA= =,sinB==,sinC==;所以,sinA+sinB+sinC2+ +2x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)(y+z)(z+x)2x+y+z-xyz2;又由 ,,∈(0,]x,y,z∈(0,1](1-x)(1-y)(1-z)≥01-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz≥0x+y+z+xyz≤2x+ y+z-xyz2. 注:对于三角形中的三角不等式,证明方法丰富,较成熟的有:均值不等式、琴生不等式、三角换元和“B-C”法等. [子题](3):(2008年浙江大学保送生考试试题)已知A,B,C为△ABC的三个内角.求证:cosB+cosC+≥4sin. [解析]:由cosB+cosC+=cosB+cosC+=2coscos+=2sincos+ 0128 [母题]Ⅱ(一-57):三角形中的不等式(757) =2sin(cos+)≥4sin. 注:对于三角形中的