高考数学母题：立体几何中的模型方法.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 539 [中国高考数学母题](第160号) 立体几何中的模型方法 长方体是立体几何中的基本几何体,其结构对称,内涵丰富,具有展开空间想象的依托功能,是研究立体几何体的重要载体模型,也是高考试题的一个重要模型载体. [母题结构]:(Ⅰ)(底面为直角梯形的四棱锥)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点在底面上的射影 点位置分类:①A1-ABCD,B1-ABCD;②C1-ABCD,D1-ABCD;③P-ABCD等; (Ⅱ)(底面为菱形的四棱锥)在如图所示的长方体中,A、B、C、D、A1、B1、C1、D1均为长方体所在棱的中点,则以菱形ABCD为底面的四棱锥有:A1-ABCD、B1-ABCD和P-ABCD等; (Ⅲ)(长方体的模型功能) [母题解析]:略. 1.底面为直角梯形的四棱锥 子题类型Ⅰ:(2013年福建高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4, ∠PAD=600. (Ⅰ)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图 (要求标出尺寸,并写出演算过程); (Ⅱ)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC; (Ⅲ)求三棱锥D－PBC的体积. [解析]:(Ⅰ)把四棱锥P-ABCD放置到长方体中,如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,则四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,CE=AD= 4,BC=5BE=3AB=6;在RtΔPAD中,AD=4,∠PAD=600PD=4正视图如图所示; (Ⅱ)取PB中点N,则MN∥AB,且MN=AB=CD四边形MNCD为平行四边形DM∥CN;又DM平面PBCDM∥平面PBC; (Ⅲ)三棱锥D－PBC的体积V=三棱锥P－BCD的体积=SΔBCDPD=8. [点评]:对底面为直角梯形的四棱锥的认识,最有效的途径是把四棱锥放置到长方体中,依托长方体模型,把握其结构. [同类试题]: 1.(2011年福建高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD, 点E在线段AD上,且CE∥AB.(Ⅰ)求证:CE⊥平面PAD; (Ⅱ)若PA=AB=1,AD=3,CD=,∠CDA=450,求四棱锥P-ABCD的体积. 2.(2010年江苏高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900. (Ⅰ)求证:PC⊥BC; (Ⅱ)求点A到平面PBC的距离. 2.底面为菱形的四棱锥 子题类型Ⅱ:(2013年安徽高考试题)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=600.已知PB=PD=2, PA=. (Ⅰ)证明:PC⊥BD; (Ⅱ)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积. [解析]:(Ⅰ)把四棱锥P-ABCD放置到长方体中,如图,设AC 与BD交于点O,则OA=OC=,OB=OD=1,BD⊥AC,由PB=PDBD⊥OPBD⊥平面PACBD⊥PCPC⊥BD; (Ⅱ)由E为PA的中点三棱锥P-BCE的体积=三棱锥B-ACE的体积三棱锥P-BCE的体积=VP-ABCD;由PB=PD=2PO=,又PA=AO2+PO2=PA2PO⊥AOPO⊥平面ABCD四棱锥P-ABCD体积=2三棱锥P-BCE的体积=. [点评]:对以菱形为底面的四棱锥,先把底面菱形放置于长方体的下底面上,然后在长方体的上底面内确定顶点的位置. 540 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [同类试题]: 3.(2008年安徽高考试题)如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD四边 长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点. (Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小; (Ⅱ)求点B到平面OCD的距离. 4.(2015年课标Ⅰ高考试题)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED; (Ⅱ)若∠ABC=1200,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积. 3.长方体的模型功能 子题类型Ⅲ:(2014年课标Ⅱ高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC; (Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离. [解析]:(Ⅰ)设BD与AC交于点O,则O是BD的中点OE∥PB,又PB平面AECPB∥ 平面AEC; (Ⅱ)由三棱锥P-AB