高考数学母题：立体几何中的三类最值问题.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 609 [中国高考数学母题](第164号) 立体几何中的三类最值问题 立体几何中,存在三类自然且具有实际意义的最值问题:距离最值、体积最值和成角最值;该三类最值问题,解法多样灵活,综合性强,它们理应成为高考的一个命题点. [母题结构]:(Ⅰ)(距离最值)距离最值,即几何体面上距离的最小值问题;把几何体的侧面展开,将问题转化为平面内两点间的线段距离最小问题,“展平”是空间图形平面化的常用方法之一; (Ⅱ)(体积最值)对于体积的最值问题:一要注意选择、巧设基本量(能够确定几何体的量);二是由基本量求体积,建立目标函数;三是求目标函数的最值,常用方法有:函数分析法、换元分析法、基本不等式法等; (Ⅲ)(成角最值)对于成角的最值问题:一要注意选择、巧设基本量(能够确定几何体的量);二是由基本量求成角,建立目标函数;三是求目标函数的最值,常用方法有:函数分析法、换元分析法、基本不等式法等; [母题解析]:略. 1.距离最值 子题类型Ⅰ:(2005年江西高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=,BB1=2, ∠ABC=900,E、F分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . [解析]:分三种情形:(1)经过BB1上一点,沿BB1展开,如图(1),此时EF=; (2)经过A1B1上一点,沿A1B1展开,如图(2),此时EF=;(3)经过A1C1上 一点,沿A1C1展开,如图(2),此时EF=.比较知,最短路径的长度=. [点评]:解决几何体面上距离的最小值问题,首先分析经过两点的路径经过几何体的哪一条线？然后沿该条直线把径经经过的平面展开;当经过两点的路径不确定时,要分类讨论,分类是按路径可能经过几何体的哪一条棱进行,分析研究共棱的两个平面图形的性质以及展开后这两个平面图形的位置关系是关键. [同类试题]: 1.(2006年江西高考文科试题)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出 发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 . 2.(2006年江西高考理科试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,?ACB=900,AC=6,BC= CC1=,P是BC1上一动点,则CP+PA1的最小值是 . 2.体积最值 子题类型Ⅱ:(2016年浙江高考试题)如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=1200,若平面ABC外的点P 和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是 . [解析]:如图,由AC=2,设CD=x,则AD=PD=2-xVP-BCD=SΔBCDh≤CBCDsin300 PD=x(2-x)≤当x=,即PD=,BD=1,PB=2时,四面体PBCD的体积的最大值是. [点评]:对于体积的最值,设一个变量,建立目标函数后,就转化为求目标函数的最值问题,此时,使用函数手段(如导数)是自然的,使用换元方法也是常用手段;也可以设出多个基本量,先建立这些基本量的约束条件,然后,利用基本不等式解决问题. [同类试题]: 3.(2014年全国高中数学联赛四川初赛试题)半径为6的球,则该球内接正三棱锥的体积的最大值是( ) 610 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 (A)32 (B)54 (C)64 (D)72 4.(2014年全国高中数学联赛广西初赛试题)三棱锥P-ABC中,顶点P在平面ABC的射影为O,满足++=0,A点在侧面PBC上的射影H是ΔPBC的垂心,PA=6,则此三棱锥体积的最大值为 . 3.成角最值 子题类型Ⅲ:(2015年四川高考试题)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互 相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为 . [解析]:设AD=4,QM=t,BF的中点为N,则EN∥AFθ=∠MEN或其补角;在ΔMEN中,由EN=,EM=,MN= cosθ=|cos∠MEN|=≤,当且仅当t=0即点M与点Q重合时,等号成立cosθ的最大值为=. [点评]:成角的最值问题包括:异面直线、直线与平面和二面角等三类成角的最值问题;解决问题的基本方法也是目标函数法:设一个变量,建立目标函数后,就转化为求目标