高考数学母题：立体几何中的三类特殊问题.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 605 [中国高考数学母题](第163号) 立体几何中的三类特殊问题 立体几何的中心是研究线面位置关系和有关的度量问题,除此之外,立体几何中还存在三类特殊问题:射影问题、截面问题和翻折问题. [母题结构]:(Ⅰ)(射影问题)㈠定义:自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影;㈡性质:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;②垂线段比任何一条斜线段都短; (Ⅱ)(截面问题)㈠定义:平面与几何体表面的交线围成的封闭图形称为几何体的截面;㈡性质:①当几何体为多面体时,截面是多边形,顶点是平面与多面体棱的交点,边是平面与多面体面的交线;②截面多边形的边数不大于多面体的面数; (Ⅲ)(翻折问题)㈠定义:将一个平面图形的部分沿着某直线进行翻折,称为图形翻折;㈡性质:①在同一半平面内的几何元素之间的关系不变;②分别位于两个半平面内但垂直于翻折棱的直线翻折后仍然垂直于翻折棱. [母题解析]:略. 1.射影问题 子题类型Ⅰ:(1991年全国高考试题)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的( ) (A)垂心 (B)重心 (C)外心 (D)内心 [解析]:设三棱锥S-ABC中,△ABC三边上的斜高SD,SE,SF在底面內的射影分别为OD,OE,OF,则∠SDO=∠SEO=∠SFOOD =OE=OFO是△ABC的内心或旁心,又由O在△ABC内O是△ABC的内心.故选(D). [点评]: 三棱锥的顶点在底面上的射影:①若三条侧棱的长相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;若侧棱与底面所成的角都相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心;②若各个侧面与底面所成的二面角相等,则射影为底面三角形的内心或旁心;若顶点与底面三边的距离相等,则顶点的射影为底面三角形的内心或旁心;③若三条侧棱两两互相垂直,则顶点在底面的射影为三角形的垂心;若三条侧棱分别与所对的侧面垂直,则顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心;④若各个侧面在底面上的射影面积相等,则顶点在底面的射影为底面三角形的重心. [同类试题]: 1.(2002年北京高考试题)关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断:①可能是00的角;②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是1800的角.其中正确判断的序号是 (注:把你认为是正确判断的序号都填上). 2.(2007年湖北高考试题)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分别是和,给出下列四个命题:①⊥m⊥n;②m⊥n⊥;③与相交m与n相交或重合;④与平行m与n平行或重合.其中不正确的命题个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.截面问题 子题类型Ⅱ:(2005年全国Ⅱ高考试题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、BC、C1D1的 中点.那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( ) (A)三角形 (B)四边形 (C)五边形 (D)六边形 [解析]:设CC1、D1A1、A1A的中点分别为S、M、N,则过P、Q、R的截面图形是正六边形PQSRMN.故选(D). [点评]:正方体的截面形状可能为:①当平面经过正方体的三个面时,截面的形状为三角形:只能是锐角三角形,可能是等腰三角形、等边三角形;②当平面经过正方体的四个面时,所得截面是四边形;可能正方形、长方形、梯形(等腰与不等腰梯形)、平行四边形(可以是菱形);③当平面经过正方体的五个面时,所得截面是五边形,不可能是正五边形;④当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形,可以是正六边形. [同类试题]: 3.(2005年全国Ⅰ高考试题)在正方体ABCD-ABCD中,过对角线BD的一个平面交AA于E,交CC于F,则:①四边形BFDE一定是平行四边形;②四边形BFDE可能是正方形;③四边形BFDE在底面ABCD内的射影一定是正方形;④平面 606 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号). 4.(2013年安徽高考试题