高考数学母题：圆的几何性质巧思妙解基础.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 355 [中国高考数学母题](第100号) 圆的几何性质.巧思妙解基础 在平面几何中,我们已研究过圆,并得到圆的一些基本性质,充分利用圆的这些平面几何性质是巧解解析几何中有关圆的问题的重要基础和方法. [母题结构]:(Ⅰ)(垂径定理)垂直于弦的直径平分弦;过非直径弦的中点的直径垂直于弦;过非直径弦的中点且垂直于弦的直线过圆心; (Ⅱ)(切线性质)从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角; (Ⅲ)(圆幂定理)相交弦定理、切割线定理和割线定 理统称为圆幂定理; ①(相交弦定理)如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P, 则AP·BP=CP·PD; ②(切割线定理)如图,ABT是⊙O的一条割线,TC是⊙O的一条切线,切点为C，则TC2=TA·TB; ③(割线定理)如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD. [母题解析]:略. 1.垂径定理 子题类型Ⅰ:(2009年全国Ⅱ高考试题)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M(1,),则四边形ABCD的面积的最大值为 . [解析]:设圆心O到直线AC、BD的距离分别为d1、d2,AC、BD的中点分别为E、F,则OE⊥AC,OF⊥BD,由AC⊥BD四边形OEMF为矩形d12+d22=|EF|2=|OM|2=3四边形ABCD的面积=|AC||BD|=2≤()2+()2= 8-(d12+d22)=5,当且仅当d1=d2=时,等号成立四边形ABCD的面积的最大值为5. [点评]:本题的上述解法有机的利用了圆的平面几何性质--垂径定理:垂直于弦的直径平分弦;圆有许多直观的平面几何性质,充分利用圆的这些平面几何性质是巧解解析几何中有关圆的问题的关键. [同类试题]: 1.(2010年山东高考试题)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 . 2.(2012年湖北高考试题)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) (A)x+y-2=0 (B)y-1=0 (C)x-y=0 (D)x+3y-4=0 2.切线性质 子题类型Ⅱ:(2014年课标Ⅱ高考试题)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点 N,使得∠OMN=450,则x0的取值范围是 . [解析]:由点M(x0,1)在直线y=1上,且直线y=1与圆O相切于点A(0,1),过M作圆O 的另一条切线,切点为B,则在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=450∠OMB≥450 ∠AMB≥900|OM|≤x0∈[-1,1]. [点评]:把圆O上存在点N,使得∠OMN=450转化为其临界情况--相切问题是解题的关 键,本题的上述解法充分利用了圆的切线性质.若A为定点,P为曲线C上的动点,则当且仅当以A为圆心,r为半径的圆与曲线C相切于点M时,|AP|取得最值r=|AM|.这一个结论为构圆求最值提供了理论依据. [同类试题]: 356 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2018年课标高考母题 3.(2010年武汉高三年级二月调考试题)过定点P(2,1)的直线l分别交x、y轴的正半轴于点A、B,O为坐标原点,则△OAB的周长的最小值为( ) (A)8 (B)10 (C)12 (D)4 4.(2011年复旦大学保送生考试试题)椭圆=1上的点到圆x2+(y-6)2=1上的点的距离的最大值是( ) (A)11 (B) (C)5 (D)9 3.圆幂定理 子题类型Ⅲ:(1986年全国高考试题)如图,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原 点除外)上给定两点A、B,试在x轴的正半轴(坐标原点除外)上求点C,使∠ACB取得最大值. [解析]:首先:经过A、B、C三点的圆与x轴相切于点C,则对x轴上任意点P,都有∠ACB≥∠APB, 即∠ACB最大.这是因为圆外角小于圆周角.设A(0,