高考数学母题：四面体的体积公式及其使用方法.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 四面体的体积公式及其使用方法 立体几何中的基本问题三 几何体的体积问题是立体几何所特有的问题,因任何多面体都可以分割成一些四面体,因此,四面体的体积是最根本的,也是高考的热点问题. [母题结构]:求四面体的体积公式和使用方法. [母题解析]:在解答题中,唯一可以使用的四面体ABCD体积公式VA-BCD=SΔBCDh(h是点A到平面BCD的距离),由此公式求四面体ABCD的体积可分为:先证后算、换底方法和转换技巧等. 1.先证后算 子题类型Ⅰ:(2013年课标Ⅱ高考试题)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点. (Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD; (Ⅱ)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积. [解析]:(Ⅰ)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点,又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF,BC1平 面A1CDBC1∥平面A1CD; (Ⅱ)由CA=CBCD⊥AB;又由AA1⊥平面ABCAA1⊥CDCD⊥平面AA1B1BCD是三棱锥C-A1DE的高; 在ΔABC中,由AC=CB=2,AB=2CD=;在矩形AA1B1B中,由D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=2,AB =2ΔA1DE的面积S=三棱锥C-A1DE的体积V=SCD=1. [点评]:求四面体的体积,其中的两个基本量须精心计算求出,一是高,二是底面面积.其中的关键是求高,作出高或寻找隐蔽于几何体中的高,先证明,后计算,是求四面体体积的基本特点. 2.换底方法 子题类型Ⅱ:(1996年全国高考试题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB==a,E,F分别是 BB1,CC1上的点且BE=a,CF=2a.(Ⅰ)求证:面AEF⊥面ACF; (Ⅱ)求三棱锥A1-AEF的体积. [解析]:(Ⅰ)分别取AC、AF的中点M、N,则BM⊥ACBM⊥平面ACF;由MN∥CF,且MN=aMN∥BE,且MN=BEEN∥BM EN⊥平面ACF面AEF⊥面ACF;(Ⅱ)由三棱锥A1-AEF的体积=三棱锥E-AA1F的体积=SBD=a2a=a3. [点评]:对四面体A-BCD,VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC,因此,求四面体体积的关键是灵活确定底面,即巧妙换底,换底的原则是该底面三角形的面积及该底上的高易求. 3.转换技巧 子题类型Ⅲ:(2012年辽宁高考试题)如图,直三棱柱ABC-,∠BAC=900,AB=AC=,A=1,点M,N分别为B和的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面AC; (Ⅱ)求三棱锥-MNC的体积. [解析]:(Ⅰ)取的中点P,由点M,N分别为B和 的中点PN∥,PM∥B平面PMN∥平面 ACMN∥平面AC; (Ⅱ)由三棱锥-MNC的体积=三棱锥N-MC的体积=三棱锥N-AMC的体积;三棱锥B-N的体积=三棱锥C-N的 体积=三棱锥-ABC体积的一半=;由三棱柱ABC-的体积=1三棱锥-MNC的体积=(1-2-)=. [点评]:求四面体体积的转换包括两个技巧:一是利用转换求高:寻找或作出过顶点且与底面平行的直线,并着意于该直线与底面垂直平面的交点,易于作高,或利用比例转换求高;二是利用转换求底面面:利用平行扩展底面,从而拓展你的解题空间. 4.子题系列: 1.(1983年全国高考试题)如图,已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内, ∠ABC=600,∠ACB=300,BC=24cm,A点在平面α内的射影为N,AN=9cm.求以A为顶点的 三棱锥A-NBC的体积(结果可以保留根号). 2.(1984年全国高考试题)如图,经过正三棱柱底面一边AB,作与底面成300角的平面,已知截 面三角形ABD的面积为32cm2,求截得的三棱锥D-ABC的体积. 3.(2014年北京高考试题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1, E、F分别为A1C1、BC的中点. (Ⅰ)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)求证:C1F∥平面ABE; (Ⅲ)求三棱锥E-ABC的体积. 4.(2015年北京高考试题)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,三角形VAB为等边三角形, AC⊥BC,且AC=BC=, QUOTE O,M分别为AB,EA的中点. (Ⅰ)求证:VB∥平面MOC; (Ⅱ)求证:平面MOC⊥平面VAB; (Ⅲ)求三棱锥V-ABC的体积. 5.(2012年陕西高考试题)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,∠CAB=. (Ⅰ)证明:CB1⊥BA1; (Ⅱ)已知AB=2,BC=,求三棱