高考数学母题：圆的性质.docVIP

圆的性质 1 圆的性质 圆是平面几何中另一个基本、特殊的原子图形,平面几何因圆的介入而丰富、精彩.认识、掌握圆的基本性质是深入研究平面几何的开始. Ⅰ.理论体系: 1.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧;④圆的两条平行弦所夹的弧相等. 2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等;②同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等; = 3 \* GB3 ③圆内角的度数等于它所对的弧和它的对顶角所对的弧的度数和的一半; = 4 \* GB3 ④圆外角的度数等于它的两边所夹的两条弧的度数的差的一半. 3.圆内接三角形:任意△ABC都有唯一的外接圆⊙O. 性质:若OH⊥BC于D,交⊙O于点E,则:①∠BOC=2∠A,或2(π-∠A);②O到△ABC三边BC、CA、AB距离的比=|cosA|: |cosB|:|cosC|;③AE平分∠BAC;④∠AOE=|--B|. 4.圆内接四边形: 性质与判定:①四边形ABCD是圆内接四边形四边形ABCD的对角互补;②四边形ABCD是圆内接四边形四边形ABCD的外角等于它的内对角;③相交弦定理:若四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点P,则四边形ABCD是圆内接四边形PAPC=PBPD;④托勒密(Ptolemy)定理:四边形ABCD是圆内接四边形ACBD=ABCD+ADBC. 5.圆的切线:①切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径,经过圆心垂直于切线的直线必过切点,经过切点垂直于切线的直线必过圆心;②切线长定理:从圆外一点作出圆的两条切线,它们的切线长相等,且该点到圆心的连线平分两切线的夹角;③弦切角定理:弦切角等于夹弧所对的圆周角;④切线的判定:经过半径的外端点且垂直于该半径的直线是圆的切线;与弦的夹角等于夹弧所对的圆周角的直线是圆的切线. 6.三角形内切圆:任意△ABC都有唯一的内切圆⊙I. 性质:若⊙I分别与△ABC三边BC、CA、AB相切于点D、E、F,AI的延长线交△ABC的外接圆⊙O于点T,则:①∠BIC= +;②AE=AF=(b+c-a);③TB=TI=IC;④∠TID=|-|. 7.圆外切四边形:性质:①圆外切四边形两组对边的和相等;②圆外切四边形被对角线分成的两个三角形的内心连线必垂直于这条对角线;③圆外切四边形对角线的中点连线必经过内切圆的圆心;④圆外切四边形对边上切点的连线与对角线相交于一点. 8.两圆相切:性质:①相切两圆的连心线必经过切点;②外切两圆的连心线过两条外公切线的交点;③外切两圆的切点与一条外公切线的两切点构成的三角线为直角三角形,且公切点为直角顶点;④外切两圆(两圆半径分别为R、r)的外公切线长等于2. 9.两圆相交:性质:①相交两圆的连心线,垂直平分公共弦;②相交两圆的公共弦所在直线平分外公切线线段;③以相交两圆的两交点分别为视点,对同一外公切线线段的张角和为平角;④过相交两圆的两个交点分别作割线,交两圆于四点,则同一圆上的两点的弦互相平行. 两圆的内接三角形:定义:以相交两圆的一个交点为顶点,过另一个交点的割线为对边的三角形称为相交两圆的内接三角形;性质:①相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值;②相交两圆的所有内接三角形都相似;③相交两圆的内接三角形的一边与公共弦垂直的充要条件是另外两边分别为两圆的直径;④在相交两圆的内接三角形中,以相交两圆的一个交点为顶点的点,与另外两个顶点以及这两个顶点处的两切交点,这四点共圆. 10.圆幂与根轴:定义:设P为⊙O所在平面上任意一点,PO=d,⊙O的半径为r,则d2-r2称为点P对于⊙O的幂;过P任作一直线与⊙O交于点A、B,则PAPB=|d2-r2|;到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线,这条直线称为两圆的“根轴”;性质:①如果两圆相交,则根轴是此两圆的公共弦所在直线;②如果两圆相切则根轴是此两圆的过公切 2 圆的性质 点的公切线;若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根轴上;③三个圆两两的根轴如果不