高考数学母题：四点共圆.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(18-17):四点共圆(505) 1285 四点共圆 [母题]Ⅰ(18-17):(人教版.《坐标系与参数方程》(选修4-4).例4(P38))AB,CD是椭圆G:+=1(ab0)的两条相交弦,交点为P,若直线AB与CD的倾斜角互补.求证:|PA||PB|=|PC||PD|. [解析]:设直线AB的倾斜角为θ(0≤θπ),则直线CD的倾斜角为π-θ,设P(x0,y0),直线AB参数方程为: (t为参数),点A、B对应的参数为tA、tB;代入+=1得:(a2sin2θ+b2cos2θ)t2+2(b2x0cosθ+a2y0sinθ)t+(b2x02+a2y02- a2b2)=0|PA||PB|=|t1t2|=;同理可得:|PC||PD|== |PA||PB|=|PC||PD|. 根据圆幂定理的逆定理,|PA||PB|=|PC||PD|A、B、C、D四点共圆.自然的想法是考虑逆命题: [四点共圆定理]:AB,CD是椭圆G:+=1(ab0)的两条相交弦,交点为P.求证:A、B、C、D四点共圆的充要条件是直线AB与CD的倾斜角互补. [解析]:设直线AB的倾斜角为α(0≤απ),直线CD的倾斜角为β(0≤βπ,α≠β),设P(x0,y0),直线AB参数方程为: (t为参数),点A、B对应的参数为tA、tB;代入+=1得:(a2sin2α+b2cos2α)t2+2(b2x0cosα+a2y0sinα)t +(b2x02+a2y02-a2b2)=0|PA||PB|=|t1t2|=;同理可得:|PC||PD|=;所以,A、B、C、D四点共圆|PA||PB|=|PC||PD|=a2sin2α+b2cos2α=a2sin2β+b2cos2βa2 +(b2-a2)cos2α=a2+(b2-a2)cos2βcos2α=cos2βcosα+cosβ=0(cosα-cosβ=0舍去)α+β=π. [点评]:教百年前,著名教材《坐标几何》(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆+=1(ab0)参数方程(θ为参数,0≤θ2π)中的角θ就叫做离心角),证明方法十分巧妙,还要运用高次方程的韦达定理;这一条件是否充分,一直是悬案,在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时,仍未解决,到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时,才证明了此条件的充分性. [子题](1):(2011年大纲高考试题)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上 的焦点,过F且斜率为-的直线l与C交于A、B两点,点P满足=0. (Ⅰ)证明:点P在C上; (Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上. [解析]:(Ⅰ)设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)(0αβ2π),由F(0,1)= =-sin(α+)=sin(β+)=β=α+π+cosα+cosβ=cosα+cos(α+π+)=cos(α+), sinα+sinβ=sinα+sin(α+π+)=sin(α+);由=0P(-cos(α+),-sin(α+ 1286 [母题]Ⅰ(18-17):四点共圆(505) ))点P在C上; (Ⅱ)由sin(α+)=sin(β+)=cos(α+)=sin(α+)P(-cos(α+),-sin(α+))kOP=kPQ= ,又由kAB=-kAB=-kPQA、P、B、Q四点共圆. 注:若过一点的两条直线与二次曲线:ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均存在且互为相反数或斜率均不存在. [子题](2):(2009年全国Ⅰ高考试题)如图,己知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r0) 相交于A、B、C、D四个点. (Ⅰ)求r的取值范围; (Ⅱ)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标. [解析]:设P(p,0),直线BD:y=k(x-p),由A、B、C、D四点共圆AC与BD的斜率互为相反数直线AC:y=-k(x-p)过由A、B、C、D四点的曲线系:y2-x+λ[