高考数学母题：双曲线两垂直半径的性质.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 双曲线两垂直半径的性质 双曲线上两点A、B满足OA⊥OB的母题 双曲线C:=1(ba0)上两点A、B满足OA⊥OB,则原点O到直线PQ的距离d=,由此生成一列高考试题,为此,我们构成母题如下,并着意关注由母题生成子题的方向. [母题结构]:直线l与双曲线C:=1(ba0)相交于A、B两点,OH⊥直线l于点H,则OA⊥OB等价于:①原点O到直线AB的距离d=;②直线l与圆x2+y2=相切于点H;;③=. [母题解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:xcosθ+ysinθ=r,代入=1得:(b2sin2θ-a2cos2θ)x2+2a2rxcosθ-a2r2 -a2b2sin2θ=0x1+x2=,x1x2=-y1y2sin2θ=(r-x1cosθ)(r-x2cosθ)=r2-r(x1+x2)cosθ +x1x2cos2θ=;由OA⊥OB=0x1x2+y1y2=0-(a2r2sin2θ+a2b2sin4θ)+ (b2r2sin2θ-4a2r2cos2θ-a2b2sin2θcos2θ)=0r=①原点O到直线PQ的距离d=;②直线l与圆x2+y2=相切于点H;③==OA⊥OB. 1.线段的度量关系 子题类型Ⅰ:(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)如图所示,过双曲线x2-=1 的中心O作两条互相垂直的射线,交双曲线于A、B两点.试求: (Ⅰ)弦AB的中点P的轨迹方程; (Ⅱ)双曲线的中心O到直线AB的距离. [分析]:本题的两问具有并列关系,可统一求解:设直线AB:y=kx+t,根据OA⊥OB,建立k与t的关系;根据韦达定理,可解第(Ⅰ)问;根据点到直线的距离公式,可求第(Ⅱ)问. [解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+t,将直线AB与双曲线方程联立化简得:(4-k2)x2-2ktx-t2-4=0x1+x2= ,x1x2=-y1+y2=,由OA⊥OB=0x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=03t2=4(k2+1); (Ⅰ)设AB的中点P(x,y),则x=(x1+x2)=,y=(y1+y2)==k=t=(4-k2)=y-3(y- )2=4[()2+1]3(4x2-y2)2=4(16x2+y2)(x≠0); (Ⅱ)O到直线AB的距离d==. [点评]:对于给定双曲线上满足OA⊥OB的两点A、B,可设计如下问题:①双曲线的中心O到直线AB的距离;②求+ 的值;③求|OA||OB|或|AB|的最小值等. 2.直线与圆相切 子题类型Ⅱ:(2012年上海高考文科试题)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1. (Ⅰ)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求M点的坐标; (Ⅱ)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (Ⅲ)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ. [分析]:用交轨法可求点M;第(Ⅱ)问中的平行四边形的面积可转化为三角形的面积求解;第(Ⅲ)问是母题的逆向问题. [解析]:(Ⅰ)设M(x,y),由C的左焦点F(-,0)|MF|2=(x+)2+y2=(x+)2+(2x2-1)=(x+)2;又由|MF|= 2(x)x=M(,); (Ⅱ)由C的左顶点A(-,0),渐近线:y=x过A与渐近线y=x平行的直线方程为;y=x+1,与y=-x联合得y=平行四边形的面积S=|OA||y|=; (Ⅲ)设P(x1,y1)、Q(x2,y2),直线PQ:y=kx+t,由l与圆x2+y2=1相切=1t2=k2+1;将y=kx+t代入2x2-y2=1得: (2-k2)x2-2ktx-t2-1=0x1+x2=,x1x2=-=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2= -(1+k2)++t2==0OP⊥OQ. [点评]:通过“双曲线C:=1(ba0)上两点A、B满足OA⊥OB的充要条件是直线AB与圆O:x2+y2=相切”,可以构造:①已知双曲线C及OA⊥OB,求圆O;②已知双曲线C及圆O,求∠AOB;③已知OA⊥OB及圆O,求双曲线C. 3.构造特殊问题 子题类型Ⅲ:(2007年江西高考试题)设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为 d1和d2,∠APB=2θ,且存在常数λ(0λ1),使得d1d2sin2θ=λ. (Ⅰ)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程; (Ⅱ)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围,使=0, 其中点O为坐标原点. [分析]:由双曲线的定义求解第(Ⅰ)问;为避免讨