高考数学母题：四面体体积.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-30):四面体体积(344) 887 四面体体积 [母题]Ⅰ(14-30):(2011年江西高考试题)(Ⅰ)如图,对于任一给定的四面体A1A2A3A4,找出依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4,使得Ai∈αi(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等; (Ⅱ)给定依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4,其中每相邻两个平面间的距离为1, 若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足:Ai∈αi(i=1,2,3,4),求该正四面体A1A2A3A4的体积. [解析]:(Ⅰ)将四面体A1A2A3A4放置于平行六面体AA3BA4-A1CA2D中,且将线段A1A2三等分,其中两个分点依次为P1,P2,设平面A3CP2为α3,分别过A1,A2,A4作平行于平面α3的平面α1、α2、α4,则平面α1、α2、α3、α4,满足条件; (Ⅱ)如图,现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1,F1分 别是A1B1，C1D1的中点,EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面,若其距离为1,则四面 体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体,右图是正方体的上底面,现设正方体的棱 长为a,若A1M=MN=1,则有A1E1=a=正四面体A1A2A3A4的体积V=. [点评]:因任何多面体都可以分割成一些四面体,因此四面体可以视为是立体几何的原子体,这种分割思想在体积问题中有重要应用,故四面体的体积是最根本的. [子题](1):(2012年山东高考试题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为 线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为 . [解析]:由三棱锥D1-EDF的体积=三棱锥F-DD1E的体积;又由三棱锥F-DD1E的高=点F到平面 ADD1A1的距离h=1,△DD1E的面积S=1/2三棱锥F-DD1E的体积V=1/3×Sh=1/6. 注:求四面体的体积通常利用公式V=1/3×Sh,这时实际上考虑的主要元素是底面面积和高,对四面体A-BCD而言,可以以任何一个面作为底面,其体积都是一样的,即VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC,因此,其关键是灵活确定底面. [子题](2):(1985年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题)三棱锥P-ABC顶角的三个面角均为600,三个侧面的面积分别为、2和1,则它的体积为 . [解析]:设△PAB、△PBC、△PCA的面积分别为、2和1,BD⊥平面APC于D,∠BPD=θ,则PA×PB=2,PB×PC=,PC×PA=PA×PB×PC=PB=2;由折叠角公式:cos600=cos300cosθ cosθ=sinθ=BD=PBsinθ=V=×1×=. 注:在四面体P-ABC中,PA=a,PB=b,PC=c,∠APCB=α,∠BPC=β,∠CPA=γ,则四面体P-ABC的体积为V=abc× .由此可得:当且仅当α=β=γ=时,四面体P-ABC的体积取得最大值abc. [子题](3):(1987年全国高考试题)三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线段ED=h,求证:三棱锥P- ABC的体积V=L2h. [解析]:连结AD和PD,由BC⊥PA,BC⊥EDBC⊥平面PAD,S△PAD=PAED=Lh 888 [母题]Ⅰ(14-30):四面体体积(344) 三棱锥P-ABC的体积V=三棱锥B-PAD的体积+三棱锥C-PAD的体积=S△PADBD+S△PADCD=L2h. 注:在四面体ABCD中,若AB=a,CD=b,AB与CD所成的角及距离分别 为θ,d,则四面体ABCD的体积V=abdsinθ;由此可得:四面体ABCD的体积V≤S△ABCAD. [子题系列]: 1.(2012年福建高考试题)(文)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M棱DD1上的一点,则三棱锥A-MCC1的体积= . 2.(1996年全国高考试题)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC