高考数学母题：双曲线与渐近线的三个关系.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 267 [中国高考数学母题](第087号) 双曲线与渐近线的三个关系 渐近线是双曲线所特有的,双曲线与其渐近线之间不仅具有“伴生”关系,渐近线与离心率也有密切联系,而且双曲线的渐近线控制双曲线范围的和发展趋势. [母题结构]:(Ⅰ)(方程间的关系)双曲线C的方程为:-=λ(λ≠0)双曲线C的渐近线方程为:-=0; (Ⅱ)(离心率的联系)若双曲线的渐近线的斜率为k,则:①焦点在x轴上的双曲线的离心率e=;②焦点在y轴上的双曲线的离心率e=; (Ⅲ)(渐近线的特性)①平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点;②过点(m,0)(ma)的直线l的斜率为k,则:直线l与双曲线C的右支有一个交点-≤k≤;直线l与双曲线C的右支有两个交点k-,或k;过点(0,n)的直线l的斜率为k,则:直线l与双曲线C的右支有交点-k;直线l与双曲线C的右支没有交点k≤-,或k≥. [母题解析]:略. 1.方程间的关系 子题类型Ⅰ:(2015年课标Ⅱ高考试题)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为 . [解析]:由渐近线方程为y=x,可设双曲线:x2-4y2=λ,把点(4,)代入得:λ=4双曲线的标准方程:x2-4y2=4. [点评]:由双曲线C的渐进线:y=kx,则可设C:k2x2-y2=λ(λ≠0),当λ0时,焦点在x轴上;当λ0时,焦点在y轴上. [同类试题]: 1.(2015年安徽高考试题)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是( ) (A)x2-=1 (B)-y2=1 (C)-x2=1 (D)y2-=1 2.(2012年天津高考试题)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a= ,b= . 2.离心率的联系 子题类型Ⅱ:(2015年山东高考试题)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2: x2=2py(p0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 . [解析]:设渐近线:y=kx,代入x2=2py得x2=2pkxx=0,2pkA(2pk,2pk2),B(-2pk,2pk2);由C2的焦点F(0,) kAF=;由AF⊥OBkAFkOB=-1(-k)=-1k2=C1的离心率e==. [点评]:由双曲线渐近线的斜率,求双曲线的离心率,要特别注意双曲线焦点的位置,根据焦点的位置,选择相应公式. [同类试题]: 268 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 3.(2006年陕西高考试题)己知双曲线(a)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 . 4.(2008年重庆高考试题)己知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐进线为y=kx(k0),离心率e=k,则双曲线方程为( ) (A) (B) (C) (D) 3.渐近线的特性 子题类型Ⅲ:(2015年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的 一个动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 . [解析]:由双曲线x2-y2=1的一条渐近线:x-y=0与直线x-y+1=0平行,且距离d=;由渐近线的性质知,cmax=. [点评]:双曲线只能位于由它的两条渐近线所构成的且含焦点的一对对顶角之内,且当双曲线上的动点P沿着双曲线无限远离双曲线的中心时,点P到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0. [同类试题]: 5.(2015年山东高考试题)过双曲线C:-=1(a,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 6.(2006年福建高考试题)己知双曲线=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( ) (A)(-,) (B)(-,) (C)[-,] (D)[-,] 4.子题系列: 7.(2006年天津高考试题)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y=x,那么它的两条准线间的距离是( )