高考数学母题：四面体母体.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-28):四面体母体(342) 883 四面体母体 [母题]Ⅰ(14-28):(原创题)以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点B、D、A1、C1为顶点的四面体A1C1BD称为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的子体,而平行六面体ABCD-A1B1C1D1称为四面体A1C1BD的母体.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①若子体是正四面体,则母体是正方体;②若母体是长方体,则子体的对棱垂直;③若母体是长方体,则子体的各面是锐角三角形;④若子体的各面是全等三角形,则母体是长方体;⑤若母体的各面是菱形,则子体对棱的平方和相等. [解析]:如图:①四面体A1C1BD是正四面体AC=A1C1=BD四边形ABCD是矩形,同理可得: D1 C1 ADD1A1、ABB1A1是矩形平行六面体ABCD-A1B1C1D1是长方体,又由A1B=BD=DA1AB=AD=AA1 A1 B1 平行六面体ABCD-A1B1C1D1是正方体;②错误;③正确;④设A1B=a,BD=b,A1D=c,由各面是全等三 角形A1C1=b,BC1=c,DC1=a子体的对棱相等母体是长方体;⑤母体的各面是菱形 D C 子体对棱的平方和相等.故选①③④⑤. A B [点评]:本题是作者为2014届学生命制的原创题,目的是说明平行六面体与四面体的“母子相依”关系,呈现关于四面体问题的重要的解题方法--“母体”法:关于四面体的问题,要把该四面体放置到平行六面体中,以扩大解题活动的空间,构造恰到好处的参照物.从而妙解四面体问题. [子题](1):(2009年安徽高考试题)(文)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD三条高线的交点;③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;⑤分别作三组相对棱中点的连线所得的三条线段相交于一点. B [解析]:把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图:显然,①正确;对于②,若垂足△BCD三条 A 高线的交点H,则AH⊥CDCD⊥AH,又因CD⊥BHCD⊥平面ABHCD⊥AB,所以,②不正确; 同理可知,③不正确;类比三角形二边之和大于第三边知,④正确;⑤分别作三组相对棱中点的 C 连线所得的三条线段相交于行六面体中心,故⑤正确.综上,命题正确的是:①④⑤. D 注:对命题⑤的研究,突呈了平行六面体作为四面体母体的功能. [子题](2):(原创题)对于四面体ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①一顶点上的三条棱长之和的二倍大于其余棱长之和;②一顶点上的三条棱长之和小于其余棱长之和;③任意两对棱的距离不大于其余棱长;④若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则四面体的三组对棱分别互相垂直;⑤若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心,则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的垂心. C [解析]:由AB+ACBC,AC+ADCD,AD+ABBD2(AB+AC+AD)BC+CD+BD①正确;正四面体的 A 三条棱长之和=其余棱长之和②错误;把四面体ABCD放置到平行六面体中,如图:两对棱的 距离=两对面的距离不大于其余棱长③正确;若点A在平面BCD上的射影H是这个三角形 D BCD的垂心,则AH⊥CD,CD⊥BHCD⊥平面ABHCD⊥AB,同理可证:BD⊥AC,AD⊥BC④正 B 确⑤正确.综上,命题正确的是:①③④⑤. 注:对命题③的研究,突呈了平行六面体作为四面体母体的功