高考数学母题：射影构造求直线与平面所成的角.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 射影构造.求直线与平面所成的角 立体几何中的基本问题之七 求直线与平面所成的角是高考的热点,解决问题的方法有两种:综合几何法和解析向量法;其中,综合几何法的核心是寻找直线上一点在平面上的射影点位置,构造射影点位置,并求高是应用综合几何法的关键. [母题结构]:求直线与平面所成角的综合几何法. [解题程序]:求直线与平面所成角的综合几何法:一作,过直线l上一点P作PH⊥平面α于H,并确定点H的位置;二求,求OP,PH;三解,利用公式sin∠POH=求解. 1.基本解法 子题类型Ⅰ:(2009年课标高考试题)如图,已知两个正方形ABCD和 DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (Ⅰ)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;(Ⅱ)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线. [解析]:(Ⅰ)不妨设CD=2;取CD的中点G,则MG⊥CD,由平面ABCD⊥平面DCEFMG⊥平面DCEF∠MNG是直线MN与平面DCEF所成角;由tan∠MNG==sin∠MNG=直线MN与平面DCEF所成角的正值弦=; (Ⅱ)假设直线ME与BN共面于平面α,由AB∥平面DCEFAB∥平面α与平面DCEF的交线NE;又由AB∥CDNE∥CD,矛盾.故直线ME与BN是两条异面直线. [点评]:作平面的垂线是关键,常用:若两平面垂直,则其中一平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面. 2.垂足位置 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅰ高考试题)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中, CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.(Ⅰ)证明:AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. [解析]:(Ⅰ)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B;由CA=CBOC⊥AB;由AB=AA1∠BAA1=600△AA1B为等边三角形OA1⊥ABAB⊥平面OA1CAB⊥A1C; (Ⅱ)不妨设AB=2,则AA1=A1B=2OA1=OC=;由平面ABC⊥平面AA1B1BOC⊥OA1A1C=;作A1H⊥平面BB1C1C于H,由A1B1=A1C1=A1BH是ΔBB1C1的外心;由BC1=ΔBB1C1的外接圆半径r=A1H=正弦值==. [点评]:关键是寻找直线上的一点在平面内的射影点的位置,常用三棱锥的顶点在底面上射影的几个性质. 3.体积求高 子题类型Ⅲ:(2010年课标高考试题)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD, AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点.(Ⅰ)证明:PE⊥BC; (Ⅱ)若?APB=?ADB=600,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. [解析]:(Ⅰ)由PH⊥底面ABCDPH⊥BC;在等腰梯形ABCD中,由AC⊥BD,E为AD中点∠EHA=∠EAH,∠EAH+∠ADH= 900∠EHA+∠BCH=900BC⊥EHBC⊥平面PEHBC⊥PEPE⊥BC;(Ⅱ)设A到平面PEH的距离为h,AH=2,则PA=AB= 2PH=2,EH=SΔPEH=,SΔAEH=VP-AEH=;由VA-PEH=VP-AEHSΔAEHh=h=1正弦值==. [点评]:求直线与平面所成角的关键是求直线上一点到平面的距离,构造四面体,转化为求高,然后利用体积恒等变换. 4.子题系列: 1.(2007年上海高考试题)如图,在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,AC=BC=1. 求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正切值. 2.(2008年上海高考试题)如图,在棱长为2的正方体ABC-A1B1C1D1中,E是BC1的中点. 求直线DE平平面ABCD所成角的正切值. 3.(2012年天津高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2, PD=CD=2.(Ⅰ)求异面直线PA与BC所成角的正切值; (Ⅱ)证明:平面PDC⊥平面ABCD; (Ⅲ)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值. 4.(2012年浙江高考试题)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB, AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点. (Ⅰ)证明:(i)EF∥A1D1;(ii)BA1⊥平面B1C1EF; (Ⅱ)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值. 5.(2015年上海高考试题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点, 证明:A1