高考数学母题：容斥模型.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(21-08):容斥模型(602) 1513 容斥模型 [母题]Ⅰ(21-08):(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球.则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是 . [解析]:设集合U={5个球放入5个盒子内的放法},A={红球在红盒内的放法},B={黄球在黄盒内的放法},则|U|=5！,|A|= |B|=4！,|A∩B|=3！红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的放法数|CU(A∪B)|=|A|+|B|-|A∩B|=78P==. [点评]:关于容斥原理,请见母题(543),利用容斥原理进行计数,解决古典概型的问题模型,我们称之为容斥模型;容斥模型按所涉及的集合个数,可分为二阶容斥模型、三阶容斥模型和多阶容斥模型. [子题](1):(1972年美国数学奥林匹克(USAMO)试题)假设一个随机数选择器只能从1,2,…,9这九个数字中选择一个,并且以等概率做这些选择.试确定在n(n1)次选择后,选出的n个数的乘积能被10整除的概率. [解析]:由选出的n个数的乘积能被10整除选出的n个数的乘积能被2整除,且选出的n个数的乘积能被5整除;设集合A:“n次选择中没有数字5的选法”,集合B:“n次选择中没有数字2,4,6,8的选法”,则|A|=8n,|B|=55,|A∩B|=4n,由容斥原理知,|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=8n+5n-4nn次选择中有数字2,5的选法=|∩|=99-(8n+5n-4n)选出的n个数的乘积能被10整除的概率=. 注:利用容斥原理的关键是根据题意构造集合,首要的是全集,即样本空间,然后,把待求事件对应的集合分解为几个简单的集合,并用简单的集合表示待求事件对应的集合. [子题](2):(2011年美国数学邀请赛(AIME)试题)有九位代表来自三个不同的国家,每个国家三人.他们随机地选择有九把椅子的圆桌.若每位代表旁至少有来自另外国家的一位代表的概率为((m,n)=1),求m+n. [解析]:设集合A,B,C分别是第一、二、三个国家的代表坐在相邻座位的坐法,则他们随机地的坐法数==1680, |A|(从九把椅子中选一把给第一个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选三把安排第二个国家的代表就坐,第三个国家坐余下的三把椅子)=9C63,同理可得:|B|=|C|=9C63;|A∩B|(从九把椅子中选一把给第一个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐,然后从余下的六把椅子中选一把给第二个国家的一名代表坐,其他两名按顺时针依次就坐(有4种),第三个国家坐余下的三把椅子)=9×4,同理可得:|B∩C|=|C∩A|=9×4;|A∩B∩C|=9×2.由容斥原理知,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|=450=1-=m+n=97. 注:三阶容斥原理:①|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|;②|CU(A∪B∪C)|=|U|-(|A|+|B|+ |C|)+|A∩B|+|B∩C|+|C∩A|-|A∩B∩C|. [子题](3):(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)将3×3方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3×3方格表中没有2×2红色正方形的概率为((m,n)=1),求m+n. [解析]:给3×3方格表编号如图,记事件Ai:“以i为左上角的2×2正方形是红色正方形”(i=1,2, 4,5),则P(Ai)=()4,…,P(A1∩A2∩A4∩A5)=()9.由容斥原理知,3×3方格表中至少有一个的2×2 红色正方形的概率=P(A1∪A2∪A4∪A5)=P(A1)+P(A2)+P(A4)+P(A5)-P(A1∩A2)-P(A1∩A4)-P(A1∩A5)-P(A2∩A4)-P(A2∩A5)-P(A4 1514 [母题]Ⅰ(21-08):容斥模型(602) ∩A5)+P(A1∩A2∩A4)+P(A1∩A2∩A5)+P(