高考数学母题：取球模型的概率 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(三-01):取球模型的概率(771) 0175 取球模型的概率 [母题]Ⅱ(三-01):(取球模型)一个袋中共有m+n个球,其中有m个黑球,n个白球. (Ⅰ)从中一次任取出α+β(α,β∈N,α≤m,β≤n)个,求所取出的球恰有α个白球和β个黑球的概率; (Ⅱ)从中每次取出一个球,取后不放回,共取α+β(α,β∈N,α≤m,β≤n)次,求所取出的球恰有α个白球和β个黑球的概率; (Ⅲ)从中每次取出一个球,取后放回,共取α+β(α,β∈N,α≤m,β≤n)次,求所取出的球恰有α个白球和β个黑球的概率; [解析]:(Ⅰ)设A表示事件“所取出的球恰有α个白球和β个黑球”,从m+n个球中任意取出α+β个,有Cm+nα+β种不同取法,而事件A相当于从m个白球中任取α个,且从n个黑球中任取β个的取法种数,计有CmαCnβ种P(A)=; (Ⅱ)设B表示事件“所取出的球恰有α个白球和β个黑球”,从m+n个球中每次取出一个球,取后不放回,共取α+β次,有Am+nα+β种方法,事件A相当于从m个白球中任取α个,且从n个黑球中任取β个后,α+β个球的排列,计有CmαCnβAα+βα+β种P(B)=; (Ⅲ)设C表示事件“所取出的球恰有α个白球和β个黑球”,从中每次取出一个球,取后放回,则每次取到白球的概率P= ,每次取到黑球的概率P=P(C)=Cα+βα()α()β. [点评]:取球模型是古典概型中的一类最基本模型,根据取球方式的不同可分为三种不同类型的问题:①一次性取球,为组合计数问题;②每次取出一个球,逐次取球,取后不放回,为排列计数问题;③每次取出一个球,逐次取球,取后放回,为独立重复试验问题;取球模型包含了古典概型的三类基本问题:古典概率中很多问题常常可以归结为此模型问题来解决. [子题](1):(2004年天津高考试题)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛. (Ⅰ)求所选3人都是男生的概率;(Ⅱ)求所选3人中恰有1名女生的概率;(Ⅲ)求所选3人中至少有1名女生的概率. [解析]:(Ⅰ)P==;(Ⅱ)P==;(Ⅲ)P==或P=1-=. 注:袋中共有m+n个球,其中有m个黑球,n个白球,一次性取出k个满足条件球的问题等价于取出k个球的组合问题. [子题](2):(2000年课程高考试题)甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个.甲、乙二人依次各抽一题. (Ⅰ)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(Ⅱ)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ [解析]:(Ⅰ)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,由甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到判断题有4种抽法 P(A)==; (Ⅱ)记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B,则P(B)==至少有一人抽到选择题的概率P=1-P(B)=. 注:袋中共有m+n个球,其中有m个黑球,n个白球,每次取出一个球,逐次取球,取后不放回,取k次足条件球的问题等价于取出k个球的排列问题. [子题](3):(2005年浙江高考试题)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是, 从B中摸出一个红球的概率为p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.①求恰好有3次摸到红球的概率; 0176 [母题]Ⅱ(三-01):取球模型的概率(771) ②第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率; (Ⅱ)若A、B两个袋子中的球数之比为1:2,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值. [解析]:(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个的概率是;①P=C53()3(1-)2=;②P=()3=; (Ⅱ)设袋子A中有m个球,则袋子B中有2m个球,由=P=. 注:袋中共有m+n个球,其中有m个黑球,n个白球,每次取出一个球,逐次取球,取后放回,取k次足条件球的问题等价于k次独立重复试验问题. [子题系列]: 1.(2007年天津高考试题)已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率;(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概