数学人教版九年级上册一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.docVIP

一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课 教学目标 (一)提高学生对于根的判别式的运用能力； 　　(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力. 教学重点和难点 　　重点：会用根的判别式及根与系数关系解题. 　　难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件. 教学设计过程 　　(一)复习 　　1.已知一元二次方程 ????????? ?????????????????ax2+bx+c=0 (a≠0). 　　(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示) 　当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根. 　　反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0； 没有实数根时，△＜0) 　　2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=? 　　 　　(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立? 　　 　　3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都 知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练. 　　(二)新课 　　例1? P为何值是，方程???????????? x2+3x+3+P(x2+x)=0 　　(1) 有两个相等实根；(2)试作一个一元二次方程，使P的这些值是这个方程的根. 　　分析：从根的判别式性质，可求出P值，从而写出所求的一元二次方程.但根据方程根 的性质，可使解题过程简单些. 　　解：欲使方程x2+3x+3+p(x2+x)=0有等根，则方程(1+p)x2+(3+p)x+3=0的根的判别式应 等于零.即△=(3+P)2-12(1+p)=0,整理，得p2-6p-3=0. 　　由已知P是所求方程的根，因此二次方程x2-6x-3=0就是所求方程. 　　例2 若α，β是方程x2+x-1=0的两根， 求证：α2=β+2,β2=α+2;? 分析：由根与系数关系及方程根的定义，列出有关等式，由此得出(1)的结论. 　　证明：由α,β是方程x2+x-1=0的两根，得 ?????????????????????? α2+α-1=0,　　　① ?????????????????????? β2+β-1=0.????? ② ?? 由根与系数关系，得 ?????????????????????? α+β=-1,??????? ③ ?????????????????????? αβ=-1.???????? ④ ?? 由③，得??????????? α=-β-1,??????? ⑤ ?? ⑤式平方，得???????? α2=β2+2β+1.?? ⑥ ?? 由⑥α2=β2+β+β+1=β2+β-1+β+2,把②代入，得α2=0+β+2,所以α2=β+2. ?? 由③??????????????? β=-α-1,?????? 　⑦ 　 ⑦式平方，得???????? β2=α2+2α+1,　⑧ ?? 由⑧? β2=α2+α+α+1=α2+α-1+α+2,把①代入，得β2=0+α+2,所以β2=α+2; ?例3 m取什么值时，方程. 　　 (1) 有两个实根；? (2)有一个根为零； (3)两根异号；? (4)有两个正数根. 　　解：(1)△=(-2m)2-4(2m-1)=4m-8m+4=-4m+4=4(-m+1). 　　令△≥0,即4(-m+1)≥0，所以m≤1. ① ??? 又由m可知，必须m≥0 ②，把①，②结合在一起，当0≤m≤1时，原方程有两个实根； 　　注意? 此问的解答中，容易忽略条件②. 　　(2) 由已知，两根之积为零，即2m-1=0,所以m=时，，原方程有一个根为零； ??? (3) 由已知，两根之积为负值，即2m-1＜0,所以m＜时，原方程两根异号； 　　(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由x＞10, x2＞0，所以x1+x2＞0及x1x2＞0, 即 ??? ???? 但是仅凭条件①，②还不足以说明两根都是正数，还必须有条件△≥0, ???? 即???????????????????? △=4(-m+1)≥0.????????? ③ ???? 由①，②，③，得不等式组 ???????? 　　答：当＜m≤1时，原方程有两个正数根. 　　注意：如果忽略了条件③，即答＜m时原方程有两个正数根，这个答案就错了.例如 取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式.△=(-4)2-4×7=-8＜0，即方程x2 -4x+7=0没有实根，也就没有正根了. 　　(三)课堂练习 　　α取什么