西北工业大学《概率论与数理统计》-_中心极限定理.docVIP

西北工业大学《概率论与数理统计》4-2_中心极限定理 一、问题的提出由上一节大数定律,我们得知满足一定条件的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现n 个相互独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且n 越大,近似程度越好. 二、中心极限定理定理4.6林德贝格-列维中心极限定理设随机变量X, X,…, X相互独立,服从同一分布,12n且具有数学期望与方差2 E(X)=??, D(X)=σ≠0 (i=1, 2,…, n)ii则随机变量nX??n??∑i??i=1Y=nnσ的分布函数F(x)对于任意x 满足n 2tx??1??2limF(x)=imP{Y≤}lx=edtnn∫??∞n→∞n→∞2π??注1°当n→∞时,随机变量Y渐近服从标准n??正态分布N(0)(),1,记为Y~AN0,1.n越大,n近似程度越好.n22°Y=X~AN(n??,nσ)n∑ii=1n2????1σ????X=X~AN??,∑i????nn????i=13°定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布. 例1一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,20且都在区间(0，10)上服从均匀分布,记V=V,∑kk=1求P{Vgt;105}的近似值.解由于V??U(0, 10), 易知k100E(V)()=5(,DV=k=1,2,;,20)kk12由林德贝格-列维中心极限定理知 20V??20×5∑kV??100??k=1Y==近似服从标准正态n20×1005×10分布N(0, 1),于是123????????V??100105??100P(Vgt;105)=Pgt;????55????×10×10??33??a name=baidusnap77????????V??10015≈1??Φ(0.387)=0.348=1??P≤????510????×10??3??7 定理4.7李雅普诺夫(Liapunov)定理设随机变量X, X,…, X相互独立,它们具有数学12n期望与方差2E(X)=??,D(X)=σ(=1,2,;,n)iiiiin22若存在正数δ, 使得当n→∞时记B=σ,n∑ii=1n12+δE{X????}→0ii∑2+δBni=1 则随机变量nnX????∑i∑i??i=1i=1Y=nBn的分布函数F(x)对于任意x 满足n2tx??1??2limF(x)=limP{Y≤}x=edtnn∫??∞n→∞n→∞2π 注1°定理4.7是独立不同分布情形的中心极限定理, 该定理表明:当n充分大时, 有??Y~AN(0,1)n而nnn????2????X~AN??,σ∑i∑i∑i????i=1??i=11??i=2°由定理4.6及定理4.7可以看出, 正态随机变量的普遍性及其在概率论中所占有的重要地位. 例2一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列.某学生答对1题的概率是0.99;答对第2题的i概率是??0.98;一般地,他答对第i 题的概率是1100(i=1, 2,…, 99), 假如该学生回答各问题是相互独立的,并且要正确回答其中60个问题以上(包括60)才算通过考试. 试计算该学生通过考试的概率是多少?解设1,学生答对第i题??X=(i=1,2;99),,??i0,学生答错第i题?? 于是X是两点分布:i P{X}=1=p,P{X}=0=1??piiii为了使其成为随机变量序列, 我们规定从X开始1都与X同分布, 且相互独立, 于是99nn2B=D(X)P()=1??p→∞(n→∞)n∑i∑iii=1i=1另一方面,因为3????33EX()()??p=p1??p+p1??p????iiiiii????22()≤p1??plt;∞()=[]p1??pp+1??p()iiiiii 于是n311????≤→0EX??p????∑ii13????Bn2ni=1????(n→∞)()p1??p????∑ii??7??i=1即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.nnXE(X)??∑i∑i??i=1i=1因此随机变量Y=nn????????DX∑i????????i=1近似服从标准正态分布N(0, 1). 计算得9999199×100i????E(X)=99??×=49.5=1??∑i????∑1002100????i=1i=19999ii????????2BD(X)==1??????????99∑i∑100100????????i=1i=19912=49.5??i∑2100i=1199×100×199=49.5??×=16而该学生通过考试的概率应为99