中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题.docVIP

例 2008年?上海市长宁?区中考模拟?第25题 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AB?的中点，以O为坐标?原点，x轴与AC?平行，y轴与CB?平行，建立直角坐?标系，AC与y轴?交于点M，BC与x轴?交于点N． 将一把三角?尺的直角顶?点放在坐标?原点O处，绕点O旋转?三角尺，三角尺的两?直角边分别?交射线CA?、射线BC于?点P、Q ． （1）证明：△OMP∽△ONQ． （2）若∠A＝60°，AB＝4，设点P的横?坐标为x， PQ的长为?L，当点P在边?AC上运动?时，求L与x的?函数关系式?及定义域． （3）若∠A＝60°，AB＝4，当△PQC的面?积为时，试求CP的?长． 动感体验 请打开文件?名“08长宁2?5”．拖动点P在?从A向C慢?慢运动，观察L随x?P变化的图?象可以体验?到，在P从A到?M的过程中?，L越来越小?；在P从M到?C的过程中?，L越来越大?． 拖动点P运?动，可以体验到?，△POQ的大?小虽然在变?，但是形状不?变． 拖动点P在?射线CA上?运动， 观察面积P?QC的度量?值， 可以体验到?，有三个时刻?，△PQC的面?积为． 思路点拨 1．证明△OMP∽△ONQ可以?得到丰富的?结论，例如△POQ的三?边比为2∶1∶，等，这些结论在?第（2）、（3）题中都会用?到． 2．用勾股定理?可以写出O?P关于x的?关系式，再用△POQ的三?边比可以求?出PQ关于?x的关系式?． 3．用含有x的?式子表示线?段CQ的长?是本题的难?点和关键，不仅要分类?讨论，而且要数形?结合． 满分解答 （1）证明：∵∠MOP＋∠PON ＝ 90°，∠NOQ＋∠PON ＝ 90°， ∴∠MOP＝∠NOQ． 又∠OMP ＝∠ONQ＝90°， ∴△OMP∽△ONQ． （2）解：在Rt△ABC中， ∠A ＝ 60°，AB＝4，OM＝ ,ON＝1，所以． ∵△OMP∽△ONQ， ∴． 又∠POQ ＝∠BCA＝90°， ∴△POQ∽△BCQ． ∴． ∴． 定义域是－1≤x≤1． (3) 由△OMP∽△ONQ，知，所以． ①当点Q在B?N上时，P在MC上?，≥0，所以； ②当点Q在N?C上时，P在CM的?延长线上，＜0，所以． 因此，当点Q在B?C上时，由， 得． 解得． 所以当CP?＝1或3时, △CPQ的面?． ③如图2，当点Q在B?C的延长线?上时，， 于是． 解得x1＝ －1－,x2＝ －1＋(舍去) ． 所以当CP?＝2＋时, △CPQ的面?积是． 考点伸展 在第（3）题中，按点Q的位?置进行分类?，在分类计算?以后，①和②的结果是相?同的．如果在第（2）题中就这样?分类的话，求L关于x?的函数关系?式，也可以在R?t△PCQ中用?勾股定理求?得． 例 2008年?上海市上海?市部分学校?抽样测试第?25题 已知：在正方形A?BCD中，M是边BC?的中点（如图1所示?），E是边AB?上的一个动?点，MF⊥ME，交射线CD?于点F，AB＝4，BE＝x，CF＝y． （1）求y关于x?的函数解析?式，并写出它的?定义域． （2）当点F在边?CD上时，四边形AE?FD的周长?是否随点E?的运动而发?生变化？请说明理由?． （3）当DF＝1时，求点A到直?线EF的距?离． 图1 （备用图） 动感体验 请打开文件?名“08抽样2?5”．拖动点E在?AB上运动?，从图形中可?以看到y随?x的增大而?减小，当E与B重?合时，点F就不存?在了．从图象可以?体验到，y是x的反?比例函数． 从图形中还?可以体验到?，MN既是直?角△EFM的斜?边上的中线?，也是梯形E?BCF的中?位线，因此EF的?长等于BE?＋CF． 拖动点E在?AB上运动?，可以体验到?，△AEF的边?AE上的高?是定值4．点A到直线?EF的距离?，就是△AEF的边?EF上的高?AH．双击按钮“DF＝1，CF＝3”和“DF＝1，CF＝5”可以准确显?示DF＝1的两种情?况． 思路点拨 1．证明△EBM∽△MCF，根据对应边?成比例可以?求出y关于?x的函数解?析式． 2．构造以EF?为斜边的直?角三角形，用勾股定理?可以求得E?F＝x＋y，在这个式子?的变形过程?中，要用到第（1）的结论变形?xy＝4． 3．用几何法证?明EF＝BE＋CF，做EF的中?点N，MN既是直?角△EFM的斜?边上的中线?，也是梯形E?BCF的中?位线，因此EF的?长等于BE?＋CF． 4．分类讨论D?F＝1，按照F与D?的位置关系?，可以分为C?F＝3和CF＝5两种情况?． 5．点A到直线?EF的距离?，就是△AEF的边?EF上的高?AH，用面积法求?AH． 满分解答 解：如图2， ∵∠EMB＋∠CMF＝