高中奥数《平面几何图形集》竞赛辅导专家精品讲义教案.docVIP

平面几何 图形集 2010·07 浙江奥数网专家 过伯祥 一. 基本图形与基本结论 用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手: 1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质) 基本图形：三角形的内切圆、旁切圆，及其在边上的切点. 基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用、、表出与切点有关的诸线段.） 2AM＝AB＋AC＋BC＝2；2AG＝AB＋AC－BC；GM＝BC等. [参练习1图] 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D为内切圆的切点，F为旁切圆的切点，则有BD＝CF＝CM＝－；S＝； S＝（AB＋AC－BC）÷2等. [参练习1图] 2.(圆与弧、角，三角形五心的性质) 基本图形：三角形及其外接圆，外心，内心. 基本结论三: 三角形角B平分线与其外接圆的交点G有性质: GI＝GA＝GC； ∠BIC＝90°＋∠A ；∠BOC＝2∠A；＝4RS等． 基本结论四:顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等． 顺向全等的三角形（如△ADE与△GOI）的定义: 两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角. 3. (圆与幂，证两线垂直的新法) 与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！ 基本结论五: 一点关于一圆的幂： PR·PC＝PO2－r2. 基本结论六: 两线垂直的条件 AO⊥PQ AQ2－AP2＝OQ2－OP2. 4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸) 基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件 当CH⊥AB时， ∠BCA为直角 CH2＝AH·BH； ∠BCA为锐角 CH2＞AH·BH； ∠BCA为钝角 CH2＜AH·BH. 要证∠RIS是锐角,只要证:BI⊥SR，BI2＞BS·BR. 证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆． ※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质） 一个与圆的根轴有关的问题．根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线． 基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上． 由任意点P到两圆O、O1的切线PE、PF，有PE2－PF2=2PH×OO1. （PH垂直于根轴，H为垂足.PE＞PF.） ※6．（三角形诸要素间的关系） 基本结论九：三角形的内半与外半 ＝4； 2≤； 基本结论十： 三角形的角 ＝； 三角形的角平分线＝＝． 二. 常用的辅助线添法 用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！ 这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的? 想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法． 7.(对称添线，从结论想到的) 考虑到∠ADE＝∠ADF，为了把DE与DF拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系 作出E点关于BC的对称点E1，使新四线段CE1、CF、DE1、DF大致能形成一个三角形.． 可能还要利用塞瓦图景！ 8.(平移添线，使分散的线段BE、CF、AD集中到一处) 把线段EB、FC平移到DI、DJ处，与AD集中在一个四边形AIDJ中！ 于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用四边形的托勒密定理证线段的不等关系么？． 9.(旋转添线，构造全等形) 两个结论，证明了一个，另一个即 “同理可证”． 考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC＝CD！ 绕着C点旋转图形的一部分：把△CDF转到△CBH处！这就增多了相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！ 10.(距离比,三角法) 先证A、C、U共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景：即APUS与CRUQ两个四边形形成的图景． 利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到AP＝AS；CR＝CQ等． 11．(由要用的证法想到了辅助线) 有多种证法！ 一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例． 三. 常用方法 平几题有多种非纯几何证法！这也反映 了平几与数学各科的紧密联系与优势． 三角法,向量法,代数法, 解析法，面 积法等 12.(三角法, 充要条件) 三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示出来． 基本量:R、α（∠ACD）、β（∠BCE），再令∠DCE＝γ. 以R、α、β（γ）为基本量,如何表出PQ,AP,BQ? 13