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第3章 集合的基本概念和运算 3.1 集合的基本概念与表示 3.2 集合的基本运算 3.3 集合元素的计数 3.4 例题选解 习 题 三 定理 设A， B， C为任意集合， 那么下列式成立。 （l） 等幂律 A∪A=A 　　　　　　 A∩A=A （2） 交换律 A∪B=B∪A 　　　　　　　 A∩B＝B∩A （3） 结合律 (A∪B)∪ C=A∪(B∪C) (A∩B)∩ C=A∩ (B∩C) （4） 同一律 A∪ ＝A A∩E =A (5） 零律 A∩= A∪E =E （6） 分配律 A∪ (B∩C)=(A∪B)∩ (A∪C) A∩ (B∪C)=(A∩B)∪ (A∩C) （7） 吸收律 A∩ ( A∪B)=A A∪(A∩B)=A （8） 双重否定律 ～（～A）＝A ～E ＝ ～＝E （9） 排中律 A∪～A＝E （10） 矛盾律 A∩～A＝ （11） 德 摩根律 ～(A∪B)＝～A∩ ～B ～(A∩B)＝～A∪～ B A - (B∪C)＝(A - B)∩(A - C) A - (B∩C)＝(A - B)∪(A - C) （12） 补交转换律 A - B＝A∩～B 例7 设A、 B为集合， 已知 A-B=B-A， 证明： A=B。 证明 A-B=B-A  A∩～B=B∩～A  A∩～B∩B=B∩～A∩B  Φ=B∩～A  Φ=B-A  AB ① 同理： A-B=B-A A∩～B=B∩～A A∩～B∩A=B∩～A∩A A∩～B=Φ A-B=Φ BA ② 由①、 ②可得： A=B 例8 设A、 B为集合， 证明： P（A）∪P（B）P（A∪B）。 并举例说明不能将“”换成“=”。 证明 x， x∈（P（A）∪P（B））  x∈P（A）∨x∈P（B） 不妨设x∈P（A）， 则有 {x}A {x}（A∪B）， 所以 x∈P（A∪B）， 故P（A）∪P（B）P（A∪B）。 例如， A={a, b} B={b, c} A∪B={a, b, c}， 则 P（A）={Φ, {a}, {b}, {a, b}}, P(B)={Φ, {b}, {c}, {b, c}} P（A）∪P（B）={Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}} 而 P（A∪B）={Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}} 所以P（A）∪P（B）≠ P（A∪B）。 一 集合的基本概念与表示 1 基本概念 集合：通常用A,B,C等表示。空集、全集。 元素：通常用a,b,c等表示。 集合的基数：有限集A中元素的个数称为集合A的基数。 例1 计算下列幂集： 幂集：A是有限集，由A的所有子集作元素而 组成的集合称为A的幂集。 2 集合的表示 列举法： 将集合的元素列举出来并写在一个花括号里， 元素之间用逗号分开。 描述法： 规定一个集合A时， 将A中元素的特征用一个谓词公式来描述， 用谓词P(x)表示x具