第三讲 复变函数 解析函数.pptVIP

* 一、 复变函数 1. 复变函数的定义 记为 称w为z复变函数. 定义 设 D是复平面中的一个点集, D常常是一个平面区域, 称之为定义域。在以后的讨论中, 如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数. 其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u ,v . 例如, 考察函数 w = z2. 令 z = x+iy, w = u+iv , 因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy , 二、 复变函数的极限和连续性 或记作当 z?z0 时 , f (z)?A. 1.函数的极限定义 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0|z-z0|?内, 如果有一确定的数A存在, 对于任意给定的 总有正数 ( ), 使得当 0 |z-z0| 时，恒有 | f (z)-A | ,则称A为f (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作 (2) A是复数. (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的. 例1 讨论 解： 当z沿实轴方向趋于0时，即 则 当z沿虚轴方向趋于0时，即 则 由于两个不同方向的极限不相等，从而 不存在. 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则 运算性质： 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 当 z?0 时的极限不存在 例2 证明函数 [证] 令 z = x + i y, 则 由此得 让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有 故极限不存在. 2. 函数的连续性定义 则说 f (z)在 z0 处连续. 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续. 函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在z0 = x0 + iy0处连续的充要条件是u(x, y)和v(x, y)在(x0, y0)处连续. 性质： (1)连续函数的四则运算仍然连续； (2)连续函数的复合函数仍然连续； (3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值; 例题2 讨论 的连续性。 x 0 0 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念 一、解析函数的概念 1 复变函数的导数 定义： 存在, 则就说f (z)在 z0可导, 此极限值就称为f (z)在 z0 的 导数，记作 应该注意:(1) 上述定义中 的方式是任意的。 容易证明： 可导 可微 ； 可导 连续。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 例1 求 f (z) = z2 的导数。 [解] 因为 所以 f (z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。） 2 求导公式与法则 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z)， [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z)， 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=?(w)互为单值的反函数，且??(w)?0。 例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导? [解] 这里 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在. （即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.） 例3 讨论 的可导性。 解： 所以 在复平面上除原点外处处不可导。 内容小结 复变函数的导数 一、复变函数、及其极限、复变函数的连续. 二、解析函数 作业 习题三 1、(1) 2 3、(1) (2) *