不定积分１张.pptVIP

基本要求 １、从第二周每周第一次课交作业。 ２、每周答疑一次，时间：周日晚　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7:30-9:30；地点：三教四楼东侧答疑室。 ３、其他要求同上学期。 ４、同学们更要严格要求自己。 四. 不定积分的性质 五. 基本积分公式 小结 * 　　教 学 目 的：深刻理解不定积分的概念； 　熟记不定积分的基本公式；掌握不定积分的运算法则；掌握换元积分法；分部积分法；有理函数、三角有理函数及简单无理根式的积分方法。 第六章 不 定 积 分 重点与难点：本章的重点求不定积分，主要是换元积分法与分部积分法 ；难点是在第二换元积分法中如何选择变换 ，在分部积分法中如何适当选择 与 。 §1 不定积分概念与 基本积分公式 一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算. 四、不定积分性质 三、不定积分的几何意义 二、不定积分 返回 五、基本积分表 微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x), 一、原函数 例如 定义1 例1 数: 从(iii) (iv)可以看出, 尽管象 研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事. 在原函数,它是否惟一? 来? 第一个问题由以下定理回答. 定理1 (原函数存在性定理) (在下一章中将证明此定理) 数 F, 即 注意: 并不是每一个定义在区间上的函数都存在原函数 . 一般地 , 凡具有第一类间断点的函数 , 在包含这些间断点的任何区间上都没有原函数 . 证 ( 用反证法 ) 定理2 (原函数族的结构性定理) (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数. 证 (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 函数, 则 由第五章拉格朗日中值定理的推论, 即知 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 记作： 例如： 二、不定积分 定义2 在 I 上的不定积分. 注意: 示成初等函数（有限形式）是有区别的. 不定积分存在与不定积分可表 等等，都存在，但是都不是初等函数，通常所说的这个 积分“积出来了”是指这个不定积分可表示 为“初等函数”. 若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图 曲线都是由其中一条积分曲线 三、不定积分的几何意义 像是 f (x) 的一条积分曲线. 沿纵轴方向平移而得到的. 曲线 y=F(x)+C, 称为 f(x) 的积分曲线族.所有的积分 线族上对应于同一个 x 的点处的 由于(F(x) + C )′=f(x),故积分曲 切线是相互平行的. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数 若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 的原函数正是在积分曲线中 通过点 的那一条积分曲线. 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 显然，求不定积分得到一族积分曲线 . 由不定积分的定义，可得 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 性质1 性质2 由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算法则 证 等式成立. （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 性质3 由 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以　　　　　　　　　　　　　　 由 积分公式 求导公式 根据求导公式得出积分公式. 由 由 由 由 由 由 由 由 由 由 由 由