教育教学论文 函数的概念及其理解.docVIP

函数的概念及其理解 山西汾阳四中——吕钟柏 函数是中学数学中的一个重要概念，学生对于这一概念的理解和掌握是一个难点。笔者曾在课堂教学中留给学生七八分钟时间阅读自学函数的概念，很多学生不懂或似懂非懂，一方面知识本身有难度，另一方面也体现学生自学数学知识的能力不强。函数概念既有初中基础，又有高中集合知识的铺垫，即便如此也很难一步到位，需要逐步深入理解才能彻底把握，见于这种客观情况，笔者结合自己多年教学的浅薄所得，浅析函数的概念及其理解，希望与广大爱好者相互切磋，努力使有些单调乏味数学概念教学具体化、鲜活化、趣味化，让学生掌握起来少走弯路，很快切中要害。下面分以下四个方面来阐述： 一、函数的两种概念。从初中到高中，学生正式直面函数概念有两次，分别是函数概念的两种类型，其实也体现了函数概念的发展过程，初中的定义源于生活实际，尤其是许多物理公式，从变化角度通过变量来定义的，被称为函数的传统定义，这里姑且叫函数的狭义定义。高中的定义高于生活更加完善和确切，是学生有集合论的初步知识后学习的，被称为函数的近代定义，这里姑且叫函数的广义定义，其实这也体现着人们认识事物的规律。 函数的狭义定义：设在某变化中，有两个变量x、y，如果对于x在某一范围的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它相对应，那么我们就称变量y是变量x的函数，这里的x叫做自变量。这一定义强调变化、变量、自变量、因变量（函数）等变化因素，概念理解起来比较容易，因而初中教材采用这种定义，但是它在解释y=1，(x∈R)是不是函数这一问题上力不从心，难免有牵强之嫌。初中定义也没有继续提及函数三要素，仅此定义即可满足当时需要，知识总是在发展的，到了高中定义又进行了扩展。 函数的广义定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它相对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y= f(x),其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做这个函数的定义域，函数值的集合C={ f(x)| x∈A }叫做函数的值域，显然B?C .用这个定义来解释y=1，(x∈R) 是不是函数这一问题很容易，很自然了。但是这个定义比上面的定义学生理解和掌握起来也困难了，内容也丰富了。为了理解这一概念还需理解好函数与其它相关概念的关系，例如对应、映射、以及函数三要素等。 二、函数是一种特殊的对应。两种定义最后都落到了对应上，所以我们有必要先谈谈对应，对应在中学数学中没有详细定义和阐述，所以笔者在此补述一下，笔者认为对应也是一个原始概念，所以我们仅做一些描述性的解释，对应分为以下四种类型： ① 一对一的对应 如：一个学生对应一个学生证号 如：y=3x+2 (从x到y的对应) ② 多对一的对应 如：某班学生对应我一个数学老师 如：y=sinx (从x到y的对应) ③ 一对多的对应 如：我一个数学老师对应某班学生 如：y2=x (从x到y的对应) ④ 多对多的对应 如：某班学生对应该班任课老师 如：y2=x2 (从x到y的对应) 结合两种实例（实际实例和数学实例）理解这四种对应类型并不困难，若是数集间的对应，就对应方式来说，对应①、②可能形成函数，对应③、④就与函数无缘了，所以函数是数集间A到B中数的一对一或多对一的一种对应，而且集合A中的数不能有剩余，两种定义都强调x的任意性和y的唯一性,一旦出现一个x对应多个y（即一对多或多对多），就不是函数范畴了。所以函数是特殊的对应，其特殊性体现在形式（①、②两种）和范围（数集间）上。 三、函数是特殊的映射。映射的有关知识，真可谓命运多舛，教材每次改革都有变化，不过这次变化更大，把顺序也调整了，以前教材为了知识的完整性，总是先映射后函数，因为映射包含函数，条理但学生学起来困难，现在教材先函数定义，再拓展为映射定义，而且对映射的要求也降低了，没有了一 一映射、逆映射，象与原象等概念。一般和特殊顺序的调整应该说更符合学生的认知规律。映射是间于对应和函数之间的，其外延比对应小比函数大，就对应方式与函数完全一致，只是函数是数集间建立的对应，而映射可以是其他事物的集合之间建立的对应，映射的定义中只把函数定义中的A、B两个非空数集拓展为两个集合，其他提法完全一样，所以这里不再赘述。函数与映射都是特殊的对应，函数是特殊的映射，是数集间建立的映射。映射和函数都要求A中任意一个元素，B中都也唯一确定的元素和它相对应你，因而B中元素可以有剩余，例如:A={1，2,3}，B={2，3，4，5}，对应关系f：y=x+1,那么f：A→B是从集合A到B的一个函数（当然也是映射），所以这个函数的定义域是A，值域是C={2，3，4}，而不是B，所以值域C满足B?C也就不能理解了。 四、