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关于“数学化”的解读 王　永 数学化——数学活动的主要特征 数学化——横向的和纵向的 数学教育的四种分类 一个数学教学分类的例子 横向和纵向数学化的例子 数数　　 　　　为了数数，一个没有结构的事物或事件的集合必须结构化——手工的、视觉上的、听觉上的或在大脑里——而对大体上结构化了的集合必须揭示或强化其已有的结构。这就需要横向数学化。而另一方面，如何在这个（新创造的或揭示的）结构中运用数数的次序则是纵向数学化，它根据结构本身，可以采取不同复杂程度的方法：例如可以用乘法来给一个能用矩形结构表示的（即能排成几行几列的）集合数数。 横向和纵向数学化的例子　 横向和纵向数学化的例子 相加 　　　（1）一个问题需要把5个和3个想象中的石头弹子加起来，它可以用“手指的图式”来进行横向数学化，而数手指的办法则是纵向数学化。换一种说法即是，用5＋3的算术和来表示前一个问题是横向数学化，而解答结果则可以通过纵向地一个一个数、或用4＋4来代替，或用记忆等办法来得到。 　　　（2）如果直到10的自然数都属于生活世界，那么用（10－2）＋（5＋2）的办法求解8＋5就是纵向数学化，而两个被加数的结构则是通过横向获得的。 横向和纵向数学化的例子　 交换律 　　　如果2和9是可见的或在大脑中结合成线性结构的集合，并且它们的结合可以被倒过来读的话，那么用9＋2代替2＋9可以归到横向数学化里。交换律一旦被普遍使用，就可以纵向说明了。 横向和纵向数学化的例子　 加法 　　　当如下情形中使用加法时，它就是属于纵向数学化的一个符号：当A到B及到C之间的距离已被步测之后，则从A经B到C的距离就不用再重新步量，而只需要把前面两个数相加即可。 横向和纵向数学化的例子　 乘法 　　　（1）8的5倍可以用5行8列的矩形图式来横向数学化，而纵向数学化则可能得到如下的序列8、16、24、32、40。 　　　（2）人们最终认识到对相同被加数的加法，并把它独自作为一种运算——这种过程以横向数学化开始，并以纵向数学化结束。 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　8＋8＋8＋8＋8＝？ 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　8×5＝？ 　　　　　　　　　　　 横向和纵向数学化的例子　 除法 　　当需要把一些物品分给一群人的时候（例如围成一桌打牌时的发牌），可以把这些物品一个一个地发下去，也可以每回分给每个人等量的物品，直到分完为止；这是分配问题的横向数学化。纵向数学化则在于寻找愈来愈大的份额（直到刚好合适），从而来缩短分发的过程。这些过程是逐步图式化的一个显著的例子（在这个例子中是逐步算法化，最终导出标准的长除算法）。 　　　如，18个苹果平均分给3个人，每人分得几个？ 横向和纵向数学化的例子 组合学 　　如果A、B之间有3条路相连，B、C之间有4条路，那么从A经B到C共有多少种不同的走法？横向数学化在于找到问题的结构，这可以从某种巧妙的计算开始，而最终用乘积的手段来完成纵向数学化。依具体情况不同，这种“道路的图式”在其他情形中的应用既可能是横向的也可能是纵向的数学化。把3和4用字母代替则是纵向的数学化。 　　　如，3件上衣和4条裙子，可以搭配成几套服装？ 　　　（1）发现“服装的搭配”与“道路的图式”是同构的，是横向数学化。 　　　（2）如果应用“道路的图式”中的乘法原理去分析问题和解决问题，则是纵向的。　 　 横向和纵向数学化的例子 比率 　　对一些从几何上或代数上看起来具有某种相似性的一类问题进行数学化，会出现横向与纵向思路交替发生的情况，开始时会这样叙述：在这里大小加倍的东西，另一边也必然加倍。 　　　如，长、宽分别为3ｃｍ和5ｃｍ的长方形，与另一个长、宽分别为6ｃｍ和10ｃｍ的长方形，为什么形状相似？ 　　　比率可以通过上面得到的图式和线性函数的直线图象进一步纵向数学化，日常生活的很多事情都能如此，它们通过横向数学化与比率联系起来。揭示固定的比率和平直度之间的关系是纵向数学化的一大功绩，这也正是比率值和图象的陡峭程度之间的关系。 横向和纵向数学化的例子 垛积数 　　　对于用几何（形状）给出的垛积数，它们的大小和关系就属于横向数学化问题。 　　　　　　图1　　　　　　　　图2 　　　　　例如（图1），前ｎ个奇数的和等于ｎ的平方，又如（图2）：第ｎ－1个三角形数和第ｎ个 横向和纵向数学化的例子 　三角形数的和等于ｎ的平方。长期以来，这都是横向数学化的经验，而一旦把这种叙述和关系表达成公式进行处理，纵向数学化就占了主导。证明这种关系的归纳步骤具有纵向的特征，即使在很长的时间内它将像横向的那样起作用。在证明中所用的完全归纳法语言也表现出纵向的数学化。 横向和纵向数学化的例子 面积 　　　在钉子板上用橡皮绳界定的区域的面积可通过横向数学化得到。由此得出的等高的三角形有相