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再利用DFS和DFT关系 这表明，有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移 ，而对频谱的幅度没有影响。 3. 频域圆周移位定理 对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：  若 则 这就是调制特性。它说明，时域序列的调制等效于频域的圆周移位。 (3-40) 3.5.3 圆周卷积 设x1(n)和x2(n)都是点数为N的有限长序列（0≤n≤N-1），且有： 若 则 (3-41) 一般称式(3-41)所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积。 下面先证明式(3-41)，再说明其计算方法。  证 这个卷积相当于周期序列 和  作周期卷积后再取其主值序列。  先将Y(k)周期延拓， 即 根据DFS的周期卷积公式 由于0≤m≤N-1 为主值区间， ， 因此 将 式经过简单换元，也可证明 卷积过程可以用图3-15来表示。圆周卷积过程中，求和变量为m, n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反转形成x2((-m))N，取主值序列则得到x2((-m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2((n-m))NRN(m)，当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0 到N-1 区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。  可以看出,它和周期卷积过程是一样的，只不过这里要取主值序列。特别要注意，两个长度小于等于N的序列的N点圆周卷积长度仍为N，这与一般的线性卷积不同。圆周卷积用符号○来表示。 圆周内的N表示所作的是N点圆周卷积。 N 图 3-15 圆周卷积过程示意图 图 3-15 圆周卷积过程示意图 N 或 N N 利用时域与频域的对称性，可以证明频域圆周卷积定理（请自己证明）： 若 x1(n)，x3(n)皆为N点有限长序列，则 即时域序列相乘，乘积的DFT等于各个DFT的圆周卷积再乘以1/N。 3.3.3 周期卷积 如果 则 或 证 代入 (3-22) 得 将变量进行简单换元，即可得等价的表示式 式（3-22）是一个卷积公式， 但是它与非周期序列的线性卷积不同。 首先， 和 （或 和 都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列; 其次，求和只在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。 周期卷积的过程可以用图3-7来说明，这是一个N=7 的周期卷积。每一个周期里 有一个宽度为4的矩形脉冲， 有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0, 1, 2 时的 。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行， 即在一个周期内将 与 逐点相乘后求和，先计算出n=0, 1, …, N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列 。 图 3-7 两个周期序列（N=7）的周期卷积 由于DFS和IDFS变换的对称性，可以证明时域周期序列的乘积对应着频域周期序列的周期卷积。即，如果 则 (3-23) 3.4 有限长序列离散傅里叶变换（DFT） 3.4.1 DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义， 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系， 由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。 设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即 为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期，而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓， 即表示成: 这个关系可以用图3-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式