数字信号处理第一章(Z变换).pptVIP

双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 [例]求序列 的Ｚ变换。 Z变换小结 Z 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x（n）=δ（n）的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。? Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域） 四、Z反变换 Z变换的定义公式确定了从序列求函数的方法，而由复变函数求序列则需要对其做Z反变换。由于Z变换的定义实际上就是复变函数中的洛朗技术，它在收敛域内是解析函数，因此收敛域内的也为解析函数，可以利用复变函数的定理和方法来处理Z变换和Z反变换对。 [例2] 已知 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck分别为： （3）.幂级数展开法(长除法) 因为x(n)的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若收敛域|Z|Rx-,x(n)必为左边序列，主要展成Z的正幂级数。 [例1] 已知 ，求x(n) 解: [例2] 已知 ，求x(n) 解:因为收敛区在1/|a|外，序列为右序列，应展开为Z的降幂级数。 [例4] 试用长除法求  的z反变换。 解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列) 5. 共轭序列 9.序列的卷积和(时域卷积定理) 10.序列相乘(Z域卷积定理) 11.帕塞瓦定理(parseval) 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内（证明略） 对于线性时不变系统，有 ，即 ，所以 例 由此类推，由这N个线性无关解的线性解组合为N阶差分方程的通解，为 　 若特征方程有K重根，例　　　，其对应的齐次解为： 　Ｎ阶差分方程的通解仍为线性无关解的线性组合： 例1 [例3] 设一阶系统的差分方程为: [解]: 对差分方程两边取Z变换: 例1: , , (1)、 当w=0时， 最大，当 时， 最小 所以H(z)为低通滤波器。 (2)、 当w=0时， 最小，当 时， 最大 所以H(z)为高通滤波器。 例2：下列差分方程表示一线性时不变离散时间系统 （1）求系统函数H(Z) （2）画出H(Z)的零极点分布 （3）如果系统是稳定的，指明收敛域，并求单位脉冲响应h(n) （4）如果系统是稳定的，求系统的频响 解：1 2 3 4 a为实数,求系统的频率响应。 这是一因果系统，其单位抽样响应为 而频率响应为: 幅度响应为: 相位响应为: 五、Z变换的基本性质和定理 *一般来说，线性组合后收敛域会缩小，但是如果某些极点刚好为引入的零点所对消，则收敛域可以有所扩大。 1.线性 [例] 已知 ,求其z变换。 解： 2. 序列的移位 如果 则有： [例14] 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 3. Z域尺度变换(乘以指数序列) 如果 ，则 证明： 4. 序列的线性加权(Z域求导数) 如果 ，则 证明： 如果 ，则 证明： 6. 翻褶序列 如果 ，则 证明： 7. 初值定理 证明： 8. 终值定理 证明： 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取 z 1的极限。 证明： [例] 解： 其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略） [例] 若直接计算呢? 如果 则有: *几点说明： 1-9 系统函数 离散时间线性移不变系统的表示方法：系统的单位取样响应 和系统的频率响应 ，下面我们将介绍另外两种表示方法：系统函数