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图 3.7.11 矩形窗函数的幅度谱 图 3.7.12 加矩形窗前后的频谱 在第 2 章中列出了序列傅里叶变换的一些对称性质，且定义了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念。在那里， 对称性是指关于坐标原点的纵坐标的对称性。 DFT也有类似的对称性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其离散傅里叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为 0 到N-1，所以，这里的对称性是指关于N/2 点的对称性。  设有限长序列x(n)的长度为N点，则它的圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)分别定义为: （3-50） （3-51） 则两者满足: ０≤n≤N-1 ０≤n≤N-1 （3-53） （3-53） 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其圆周共轭对称分量xep(n)和圆周共轭反对称分量xop(n)之和，即 x(n)=xep(n)+xop(n) 0≤n≤N-1 （3-54） 由式（3-50）及式（3-51），并利用式（3-48）及式（3-49） ， 可得圆周共轭对称分量及圆周共轭反对称分量的DFT分别为： DFT［xep(n)］=Ｒe［X(k)］  DFT［xop(n)］=j Im ［X(k)］ (3-55) (3-56) 证 利用式（3-49），可得 则式(3-55)得证。同理可证式（3-56）。 下面我们再来讨论序列实部与虚部的DFT。  若用xr(n)及xi(n)分别表示有限长序列x(n)的实部及虚部，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) (3-57) 式中： 则有： 式中，Xep(k)为X(k)的圆周共轭对称分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)为X(k)的圆周共轭反对称分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。 证 利用式（3-48）， 有 这说明复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称分量。同理可证式（3-59）。式（3-59）说明复序列虚部乘以j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称分量。 此外，根据上述共轭对称特性可以证明有限长实序列DFT的共轭对称特性。  若x(n)是实序列，这时x(n)=x*(n)，两边进行离散傅里叶变换并利用式（3-48），有  X(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k) (3-60) 由上式可看出X(k)只有圆周共轭对称分量。  若x(n)是纯虚序列，则显然X(k)只有圆周共轭反对称分量， 即满足 X(k)=-X*((N-k))NRＮ(k)=-X*(N-k) 3.5.6 DFT形式下的帕塞伐定理 证 如果令y(n)=x(n)，则式（3-63）变成 即 这表明一个序列在时域计算的能量与在频域计算的能量是相等的。  3.6 频域采样理论 首先，考虑一个任意的绝对可和的非周期序列x(n)，它的Z变换为 由于绝对可和，所以其傅里叶变换存在且连续，故Z变换收敛域包括单位圆。如果我们对X(z)在单位圆上进行N点等距采样： （3-64） 问题在于，这样采样以后是否仍能不失真地恢复出原序列x(n)。 也就是说，频率采样后从X(k)的反变换中所获得的有限长序列， 即xN(n)=IDFT［X(k)］，能不能代表原序列x(n)？为此，我们先来分析X(k)的周期延拓序列 的离散傅里叶级数的反变换， 令其为 。 将式（3-64）代入此式，可得 由于 m=n+rN, r为任意整数 其他m 所以 （3-65） 这说明由 得到的周期序列 是原非周期序列x(n)的周期延拓，其时域周期为频域采样点数N。在第1章1.3节中已经知道，时域采样造成频域的周期延拓，这里又看到一个对称的特性，即频域采样同样会造成时域的周期延拓。 （1） 如果x(n)是有限长序列，点数为M，则当频域采样不够密，即当NM时，x(n)以N为周期进行延拓，就会造成混叠。这时，从 就不能不失真地恢复出原信号x(n)来。因此，对于M点的有限长序列x(n) 0≤n≤M-1 其他n 频域采样不失真的条件是频域采样点数N要大于或等于时域采样点数M（时域序列长度），即满足 N≥M （3-66） 此时可得到