数字信号处理第二章(离散傅立叶).pptVIP

一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。 有限长序列通过周期延拓可得周期序列,而周期序列通过取主值序列可得有限长序列.(延拓的周期应大于等于有限长序列的长度) 例 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x（n）通过系统 h（n），其输出就是线性卷积 y（n）=x（n）*h（n）。而圆周卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用圆周卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述 x（n）与h（n）的线性卷积，如果 x（n）、h（n）为有限长序列，则在什么条件下能用圆周卷积代替而不产生失真。 例子线性卷积与圆周卷积比较 采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息； DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。 FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。 若圆周卷积取长度为N=5,则求圆周卷积 2 3 1 x(k) 5 4 0 N=5 k 2 3 1 h(-k) k 0 求得圆周卷积 x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13 x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17 x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26 x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20 x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14 看出圆卷积与线卷积不同. 17 13 26 y(n) n 0 20 14 四、DFT与Z变换、傅立叶变换的关系 有限长序列可以进行z变换 经比较可得： 结论： 1、X(K)是X(z)在单位圆上的等间隔采样，采样间隔为 2、X(K)是 在一个周期内（ ）的等间隔采样， 采样间隔为 图 DFT与z变换 o o o o o o o o o o o o Re[z] jIm[z] o 对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采样而不丢失任何信息。这正是傅立叶变换中时域和频域对偶关系的反映！DFT实现了频谱的离散化，开辟了在频域采用数字技术处理的新领域！ 例： 当 对x(n)作5点的DFT，可得 对x(n)作10点的DFT，可得 可见在时域将序列尾部补零增长，即相当于将频域的采样加密 以上结论，其实可以通过观察DFT变换公式得出，例如将一 N点序列x(n)，补零增长为LN点序列 对x(n)做N点DFT，对y(n)做LN点DFT， 比较可得， X(K)是 的N点等间隔采样，而Y(K)是 的LN点等间隔采样，在每两个X(K)的采样点间又插入了L-1个采样点，即将频域的采样加密了。 § 2-4 抽样Z变换--频域抽样理论 一.频域抽样 1、时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 2、频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。 3.由频域抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到 因此，对序列x(n)作N点DFT变换，实际就是频率采样过程：将x(n)的频谱 在一个周期内（ ） 以频率间隔 等间隔采样。 对 进行反变换,并令其为 ,则 二、频域采样定理 如果 ，为M点序列，则 为在单位圆上的N点等间隔采样，记 则当 时， 频域采样定理：频域采样不失真的条件为频域采样点数大于或等于序列的长度。 1.由X(k)恢复X(Z) 序列x(n),（0?n?N-1）的Z变换为 三.由X(k)表达 X(Z)与 的问题——内插公式 上式就是由X(k)恢