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8.2 向量的数量积（一）导学案 班级_________姓名______________学号_____ 黄卫泉 学习目标： 1.掌握向量夹角的定义，能准确做出向量的夹角。 2.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角； 3.体会向量数量积与投影的关系，理解平面向量的数量积的概念的几何意义。 4．体会类比的数学思想和方法，养成合作交流、独立思考的学习品质，及严密思维的科学研究精神。 学习重点 ?平面向量的数量积的概念 学习难点? 平面向量的数量积概念的理解，符号的判断，及变形运用。 使用说明：用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； 知识链接 复习： （1）两个非零向量： 则的充要条件是 创设问题情境，引入课题 前面我们已经学过：向量的加法，减法，实数与向量的积。它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量，但这些运算与实数的运算已有了很大的区别。 引入：在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功W可由下式计算：W＝｜F｜｜S｜cos （其中是F与S的夹角.) 问：力F和位移S分别是什么量？功W呢? 从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念. 二．新知导学 预习教材P59 ~ P63，用红色笔画出疑惑之处， 并在规定的时间内尝试完成下列问题，总结规律方法； 问题1： 1．平面向量的夹角：已知非零向量与，作，，则∠AOB＝(0≤≤)叫向量与的夹角. θ A 特殊：(1)当＝0时，与的方向 ； (2)当＝时，与的方向 ； （3)当＝时，与垂直，记 ； (4)注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是 起点的. 做一做：等边三角形ABC中，求：（1） 与的夹角（2） 与 的夹角 2、平面向量数量积定义： 1.已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做与的数量积，记作：，即： 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 注意： （1）表示 而不表示向量，符号由决定； （2）符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替 （3）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是： 向量的数量积的4条运算律： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ()·=(·)=·()； ⑷ ．特别地： 注意：一般不等于． 问题2：体会向量数量积与投影的关系 三、新知探究： 例题1：已知,分别求 （1）；（2）的夹角为30o；（3）； 你能从图中作出的几何图形吗？表示的几何意义是什么？ 例题2: 已知向量的夹角为，求：（1）的值；（2）与夹角的大小。 例题3：已知：垂直，求实数k的值。 我的疑惑 （把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”） （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） 四、随堂评价 当堂检测：书P63练习8.2（1） 自我评价：你完成本节导学案的情况为（ ） A很好 B较好 C一般 D较差 五．巩固练习 如果 解： 已知 解： 已知 解： 已知 解： 已知： 解： 非零向量、满足，则与的夹角为 ． 解： 已知向量、的夹角为，，则 ． 解： 在△ABC中，，，，则 ． 解： 已知，，且，则向量在向量上的投影为 ． 解： 在边长为1的等边△ABC中，设，，，则 解： 若向量、满足，，，则与的夹角为 ． 解： 分享收获 （通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得） 1 A O B B A O B ③ A B1 ① O