2017_2018学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布检测含解析新人教A版选修2_3.docVIP

2.4 正态分布 A级　基础巩固 一、选择题 1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　) A．4　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．1 解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4. 所以D＝D(X)＝1. 答案：D 2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”， σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2. 答案：A 3． (2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　) [附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%] A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%. 答案：B 4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为(　　) A．0.9 B．0.5 C．0.6 D．0.8 解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)， 所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝1， 因为ξ在(0，1)内取值的概率为0.4， 所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为0.8，故选D. 答案：D 5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为(　　) A．0.997 3 B．0.682 6 C．0.841 3 D．0.815 9 解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218， 由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B. 答案：B 二、填空题 6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点． 解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 答案：0.2 7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________． 解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1. 答案：1 8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________． 解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知， P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4， 即P(10≤ξ≤11)＝0.2， 又P(ξ≥10)＝0.5， 所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3 三、解答题 9．设X～N(1，22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(3＜X≤5)． 解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. (2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)， 所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示． (1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比． 解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500. (1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式 P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)． (2)因为P(7 500ξ≤8 000) ＝P(8 000－500ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6. 所以P(8 000ξ≤8 500)＝P(7 500ξ≤8 500)＝0.