【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题03 平面向量 测试.doc

第3讲　平面向量 一、填空题 1.(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析　cos 60°＝＝ ＝，解之得λ＝. 答案　 2.(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝__________；y＝__________. 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝－，x＝，y＝－. 答案　　－ 3.已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________. 解析　由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°. 答案　90° 4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心). 解析　由已知，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知＋＝2，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心. 答案　重心 5.(2017·苏、锡、常、镇调研)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，A＝60°，若点P满足＝＋λ，且·＝1，则实数λ的值为________. 解析　由AB＝1，AC＝2，A＝60°，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝3，即BC＝.又AC2＝AB2＋BC2，所以B＝.以点A为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则B(1，0)，C(1，).由＝＋λ，得P(1＋λ，λ)，则·＝(λ，λ)·(λ，λ－)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1. 答案　－或1 6.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________. 解析　由题图可得，＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝－. ·＝· ＝2－·－2＝2， 故有2＝25－·－×64，解得·＝22. 答案　22 7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号). a为单位向量；b为单位向量；a⊥b；b∥；(4a＋b). 解析　2＝4|a|2＝4，|a|＝1，故正确； ＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，||＝|b|＝2，故错误； b＝－，a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故错误； ＝b，故正确； (＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0， (4a＋b)，故正确. 答案　 8.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________. 解析　法一　如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A(3，0)，B(0，3)， 设M(x，y)，由＝2， 得解得 即M点坐标为(2，1)， 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3. 法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－) ＝2＝3. 答案　3 二、解答题 9.已知向量a＝，b＝，且x. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f (x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值. 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝＝2， 因为x，所以cos x≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. (2)由(1)，可得f (x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x， 即f (x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x，所以0≤cos x≤1. 当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾； 当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f (x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝； 当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝. 10.(2017·镇江模拟)已知向量m＝(cos α，－1)，n＝(2，sin α)，其中α，且mn. (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝，且β，求角β的值. 解　(1)由mn，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α， 代入cos2α＋sin2α＝1，得5cos2α＝1， 又α，则cos α＝， 故sin α＝，则cos 2α＝cos2α－sin2α＝－. (2)由α，β，得α－β. 因为sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝， 则sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝×－×＝. 因为β，所以β＝. 11.(2017·南师附中调研)△ABC的内角