【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题07 线性规划与基本不等式 测试.doc

第1讲　基本不等式与线性规划 一、填空题 1.(2017·全国卷改编)设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是________. 解析　可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，所求最小值为－15. 答案　－15 2.若0x1，则当f (x)＝x(4－3x)取得最大值时x的值为________. 解析　因为0x1，所以f (x)＝x(4－3x)＝×3x(4－3x)≤×＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时取等号. 答案　 3.(2017·海门中学检测)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________. 解析　由题意知ab＝1，所以m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，所以m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号. 答案　4 4.(2017·宿迁调研)若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值是________. 解析　由xy＋3x＝3可得y＋3＝，又0x，则y＋36，y3，所以＋＝y＋3＋＝(y－3)＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y＝4时取等号，故＋的最小值是8. 答案　8 5.(2017·无锡期末)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围为________. 解析　平面区域M是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y＝kx－2，即k＝表示区域M内的点(x，y)与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k取得最小值2；当经过点(1，3)时，k取得最大值5，故实数k的取值范围为[2，5]. 答案　[2，5] 6.已知x，yR，且x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围是________. 解析　因为2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，所以6－(x2＋4y2)≤，所以x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时取等号，又因为(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12.综上可得4≤x2＋4y2≤12. 答案　[4，12] 7.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________. 解析　法一　x≥0，y≥0且x＋y＝1.2≤x＋y＝1，从而0≤xy≤，因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1. 法二　可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为. 答案　 8.(2016·全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元. 解析　设生产产品A、产品B分别为x件、y件，利润之和为z元， 则即 目标函数为z＝2 100x＋900y. 作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z＝2 100x＋900y经过点M时，z取得最大值. 联立方程组得M的坐标为(60，100)， 所以当x＝60，y＝100时， zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案　216 000 二、解答题 9.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求实数m的取值范围. 解　先根据约束条件 画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有m－2m＋1，要求可行域包含直线y＝x－1上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线y＝x－1的上方，且(－m，m)在直线y＝x－1的下方， 故得不等式组解之得m－. 故实数m的取值范围是. 10.(1)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求3x＋27y＋2的最小值； (2)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值. 解　(1)由x＋3y－4＝0，得x＋3y＝4， 所以3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2＋2＝2＋2＝2＋2＝20， 当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时取等号，此时所求的最小值为20. (2)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy， 所以2＋5≤x＋y＋5＝3xy， 所以3xy－2－5≥0， 所以(＋1)(3－5)≥0， 所以≥，即xy≥， 当且仅当x＝y＝时取等号，故xy的最小值是. 11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，