【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题08 二次关系与存在性恒成立问题 测试.doc

第2讲　“三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题 一、填空题 1.(2017·苏中四校联考)若“?xR，x2＋2x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________. 解析　由命题“?xR，x2＋2x＋a≤0”是假命题，可得其否定“?xR，x2＋2x＋a0”是真命题，则Δ＝4－4a0，解得a1. 答案　(1，＋∞) 2.若对任意实数x[－1，1]，不等式x2＋ax－3a0恒成立，则实数a的取值范围是________. 解析　设f (x)＝x2＋ax－3a.因为对任意实数x[－1，1]，不等式x2＋ax－3a0恒成立， 所以解得a. 答案　 3.(2017·南师附中调研)若当x－3时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是________. 解析　设f (x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，因为x－3，所以x＋30，故f (x)≥2－3＝2－3，当且仅当x＝－3时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2－3]. 答案　(－∞，2－3] 4.(2017·镇江模拟)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝x2－4x，则不等式f (x)x的解集为________. 解析　因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)＝x2－4x，所以当x≤0时，f (x)＝－f (－x)＝－x2－4x，不等式f (x)x?或解得x5或－5x0，则不等式f (x)x的解集为(－5，0)(5，＋∞). 答案　(－5，0)(5，＋∞) 5.当x(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x0恒成立，则实数m的取值范围是________. 解析　原不等式变形为m2－m，因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2.当x(－∞，－1]时，m2－m恒成立等价于m2－m2，解得－1m2. 答案　(－1，2) 6.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x)＝x2＋2x＋aln x，若f (x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为________. 解析　由题意知f ′(x)＝2x＋2＋＝，因为f (x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f ′(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)，而函数y＝－2x2－2x在区间(0，1]上的值域为[－4，0)，所以a≥0或a≤－4. 答案　(－∞，－4][0，＋∞) 7.若对任意实数x1，y，不等式p≤＋恒成立，则实数p的最大值为________. 解析　令a＝2y－1，b＝x－1，则＋＝＋，问题转化为求＋(a0，b0)的最小值.又＋≥2×＝2×＝2≥2×(2＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1，即x＝2，y＝1时取等号. 答案　8 8.(2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知对于任意的x(－∞，1)(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a0，则实数a的取值范围是________. 解析　令f (x)＝x2－2(a－2)x＋a，则当Δ＝4(a－2)2－4a0，即1a4时，f (x)0在R上恒成立，符合题意；当Δ≥0，即a≤1或a≥4时，函数f (x)的两个零点都在[1，5]上，则解得4≤a≤5.综上，故实数a的取值范围是(1，5]. 答案　(1，5] 二、解答题 9.(2017·南京、盐城调研)设函数f (x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0). (1)若不等式f (x)0的解集为(－1，3)，求a，b的值； (2)若f (1)＝2，a0，b0，求＋的最小值. 解　(1)由题意得即 解得 (2)因为f (1)＝2，所以a＋b＝1， 所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9， 当且仅当b＝2a＝时取等号. 10.已知函数f (x)＝ax2＋2x＋c(a，cN*)满足f (1)＝5；6f (2)11. (1)求函数f (x)的表达式； (2)若对任意的x[1，2]，都有f (x)－2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)由题知5＝a＋c＋2，即c＝3－a. 又64a＋c＋411，所以－a. 又aN*，所以a＝1，c＝2.所以f (x)＝x2＋2x＋2. (2)由已知得2(m－1)≤x＋在x[1，2]上恒成立. 因为当x[1，2]时，x＋[2，3]， 所以2(m－1)≤2， 即m≤＋1， 所以实数m的取值范围为(－∞，＋1]. 11.(2015·浙江卷)设函数f (x)＝x2＋ax＋b(a，bR). (1)当b＝＋1时，求函数f (x)在区间[－1，1]上的最小值g(a)的表达式； (2)已知函数f (x)在区间[－1，1]上存在零点，且0≤b－2a≤1，求实数b的取值范围. 解　(1)当b＝＋1时，函数f (x)＝＋1， 故其图象的对称轴为