明德概率与数理统计_课件_第7章_参数估计1006.ppt

第二节 基于截尾样本的最大似然估计 概率密度为: 例: 试证当n1时,上例中θ的无偏估 计 较无偏估计nz更有效. 第五节 正态总体均值与方差的区间估计 两个总体方差比的 的置信区间 第七节 单置信区间 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,…Xn) (X1,…Xn) 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 内，就是说，概率 要尽可能大. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 即要求估计尽量可靠. 连续型随机变量与离散型随机变量的置信区间 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 =0.95或0.9等. 前面已经给出了概率分布的上分位分位点的定义，为便于应用，这里我们再简要复习一下. 在求置信区间时，要查表求分位点. 设0 1, 对随机变量X，称满足 的点 为X的概率分布的上 分位数. 例如: 标准正态分布的 上 分位数 1.645 1.96 例如: t分布的 上 分位数 1.7531 2.2281 例如: 分布的上 分位数 自由度为n的 9.348 0.216 F分布的上 分位数 自由度为n1,n2的 ~N(0, 1) 二、置信区间的求法 寻找未知参数的 一个良好估计. 解： 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率. 求参数 的置信度为 的置信区间. （1）设X1,…Xn是取自 的样本， 选 的点估计为 对给定的置信水平 查正态分布表得 使 从中解得 于是所求 的 置信区间为 寻求未知参数的置信区间的具体作法 (０) 寻找待估参数的一个良好的估计； 练习 某工厂生产的零件长度X被认为服从N(? ,0.04),现从该产品中随机抽取6个,其长度的测量值如下(单位毫米): 14.6,15.l,14.9,14.8,15.2,15.1. 求:μ的置信水平为0.95的区间估计. n=6, ?=0.05, Z?/2 =Z0.025=1.96 ?2=0.22 . 解: 对给定的置信度 ,确定分位数 因方差未知，取 使 即 先求均值 的区间估计: 1、 均值 的置信水平为 的区间估计. 即为 从中解得 解: 设X~ N(?,?2), x1,x2…xn 是来自X的一个样本值,求参数?和?2的极大似然估计.(注:我们把?2看作一个参数) 例2 似然方程组为 根据第一式,就得到: 代入第二式,就得到: 由上,似然方程组的解唯一.下面验证它是极大值点. 是L(?,?2)的最大值点. ∴ ?和?2的极大似然估计量是 总体 泊松分布 X ～ P(?). 求:参数?的极大似然估计. 例3 解: 似然方程为 是logL(?)的最大值点. ∴ ?的极大似然估计量是 总体均匀分布 X ～ U(a,b).a,b 未知,x1,x2,…,xn是一个样本值 求:两个参数a,b的极大似然估计 解: 例 4 为使L(a,b)达到最大,b－a应该尽量地小.即b尽可能的小,而a尽可能的大,但是有观测x1,x2 ,? ,xn,所以但 b 不能小于max{x1,x2 ,? ,xn },类似地a不能大过min{x1,x2,?,xn}. 因此,a和b的极大似然估计为 其中 0, 解：似然函数为 对数似然函数为 例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 求 的极大似然估计. 求 的极大似然估计. 求导并令其为0 =0 从中解得 即为 的MLE . 对数似然函数为 基于截尾样本的最大似然估计 基于截尾样本的最大似然估计 从前面两节的讨论中我们看到: 有时候同一个参数可以有几种不同的估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问题. 另一方面,对一个参数,用矩法和极大似然法这两种方法即使得到的是同一种估计,也存在一个衡量这个估计优劣的问题. 这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题. 第七章第三节 估计量的评选标准 假设总体分布的参数为?. 对