[初一数学]31 代数系统的定义与其性质.pptVIP

代数系统的定义与性质 引子 针对某个具体问题选用合适的数学结构去进行较为确切的描述，这就是“数学模型”。 本章我们要学习的是一类特殊的数学结构——由集合上定义若干个运算而组成的系统。 根据前苏联科学院出版的一本名为“数学---它的内容、方法、和意义”具世界影响的书的提法，数学的三大特点也是它的三大优点是： ①精确性; ②抽象性; ③应用的广泛性. 原书还特别强调:抽象性是应用广泛性的基础。而我们学习数学，就必须要深刻理解数学的抽象性这个特点和优点。 主要内容 代数系统的一般性质 几个典型的代数系统 本学期内容 代数系统的一般性质 代数系统的定义与性质 同态、同构和同余 商代数、积代数 本节内容 代数系统的定义与性质 闭运算与n元运算 代数系统 一般二元运算的性质 本节要求 掌握代数系统的定义 掌握运算的性质与特殊元 闭运算与n元运算 集合上的运算，其运算结果都是在原来的集合R中，具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果B?A,则称该n元运算是封闭的. 定义 设S为集合,函数f:S×S→S称为S上的一个二元运算,简称为二元运算. f:N×N→N, f(x,y)＝x＋y 普通的减法不是自然数集合上的二元运算,因为两个自然数相减可能得负数,而负数不属于N.这时也称集合N对减法运算不封闭. 无理数的由来 公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希勃索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的。这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。 算 符 通常用?,*,?,★ …等符号表示二元运算， 称为算符. 设f:S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,y∈S,如x与y的运算结果是z,即 f(x,y)＝z, 可利用算符?简记为 x?y=z N元运算 定义 设S为集合,n为正整数,则函数 称为S上的一个n元运算,简称为n元运算. 例如,求一个数的相反数是实数集R上的一元运算,求一个数的倒数是非零实数集R*上的一元运算,在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,那么求集合的绝对补运算可以看作是P(S)上的一元运算.在空间直角坐标系中求某一点(x,y,z)的坐标在x轴上的投影可以看作是实数集R上的三元运算f(x,y,z)＝x,因为参加运算的是有序的3个实数,而结果也是实数. 例 设S＝{1,2},给出P(S)上的运算~和?的运算表,其中全集为S.解 所求的运算表如以下两表所示. 例 设S={1,2,3,4},定义S上二元运算如下： x?y =(xy)mod 5, ?x,y?S 代数系统 定义 非空集合S和S上的k个运算f1,f2,…,fk(其中fi为ni元运算,i=1,2,…,k)组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记作 S, f1,f2,…,fk . 例如,N,＋,Z,＋, ·,,R,＋, · ,都是代数系统,其中＋为普通加法,·为普通乘法,Mn(R),＋,·是代数系统,其中＋和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 说明 ①代数系统就是集合上赋于代数结构——运算。有资格称为S上的运算要求运算有“确定性”,确定性就要存在性和唯一性的总称。 ②代数系统是一个总称,具体运算符合某些律,就产生了代数系统的分类例如群、环、域,布尔代数等。 例子 P(S),?,?,~也是代数系统,它包含两个二元运算和一个一元运算. 代数常数 二元运算的幺元或零元,对系统性质起着重要的作用,称之为系统的特异元素,或代数常数. 子代数系统、子代数 定义 设V= S,f1,f2,…,fk 是代数系统,B?S且B≠?,如果B对 f1,f2,…,fk都是封闭的,且B和S含有相同的代数常数,则称B, f1,f2,…,fk 是V的子代数系统,简称子代数. 例如.N,＋,0是Z,＋,0的子代数,因为N对加法封闭,且它们都具有相同的代数常数0. N-{0},＋不是Z,＋,0的子代数.因为代数常数0不出现在N-{0}中. 平凡的子代数、真子代数 对任何代数系统V=S, f1,f2,…,fk ,其子代数定存在. 最大的子代数就是V本身. 如果令V中所有的代数常数构成的集合是B,且B对V中所有的运算都是封闭的,那么,B就构成了V的最小的子代数. 这种最大与最小的子代数