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作者：闫浩 2011 年9 月 微积分B(1)第五次习题课题目参考答案 （第七周） 2p 1 (1)若f (x ) 是以 为周期的连续函数,则在任何一个周期内存在x R ,使得 f (x + p) = f (x) . (2) 已知函数f 在圆周上有定义，并且连续.证明：可以找到一条直径，使得其两个端点A ， B 满足 f (A) f (B) . 证明 (1) （连续函数的零点存在定理，周期函数的概念） 令 F (x ) f (x p ) f (x) ，则F (x) 连续，且 F (a) f (a p ) f (a) ， F (a p ) f (a 2p ) f (a p ) f (a) f (a p ) ， F a F a p .当等号成立时，取x a ；当等号不成立时，由连续函数的零 所以 ( ) ( ) 0 点存在定理，存在x (a, a p ) R ，使得 F (x ) 0 ，即 f (x + p) = f (x) . (2) （连续函数的零点存在定理，周期函数的概念） 以圆心为极点，某个半径作极轴，于是圆周上的点可以由极角 决定.f 便是 的连续函数， q q 且以 为周期.至此问题变成求一q ，使得f (q ) f (q p ) .以下做法同第2(1)题. 2p 0 0 0 2．证明：若f (x) C(,) ,f (f (x )) x ,则存在x (,) ,使得f (x) x . 证明 （连续函数的零点存在定理） 法一：令 F x f x x ( ) ( ) ，则F (x) 连续，且 F (f (x)) f (f (x )) f (x) x f (x) ， 所以 F (x )F (f (x)) 0 .当等号成立时，取x x ；当等号不成立时，由连续函数的零 点存在定理，存在介于x 与f (x ) 之间的点x ，使得 ( ) 0 F x ，即 f (x ) x . Page 1 of 9 作者：闫浩 2011 年9 月 法二：反证法.若f (x ) x ，不妨设f (x ) x ，则 f (f (x )) f (x) x , 这与条 矛盾，故存在x (,) ,使得f (x) x . 3.设f :[0,1] [0,1] 的连续函数，f (0) 0,f (1) 1, f (f (x)) x . 证明：(1) f (x ) 是单调递增函数 (2)f (x ) x . 证明： (1)反证法:假设f (x ) 不是单调递增函数，那么存在x ,x (x x ) ，使得 1 2 1 2 f (x ) f (x ) 1 f (1) .由于f 的连续性，则存在x [x , 1] ，使得f (x ) f (x ) ，因
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