闫浩-微积分B(1)第8次习题课答案.pdfVIP

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作者:闫浩 2011 年9 月 微积分B(1)第八次习题课题目参考答案 (第11 周) 1.f (x) x 3 2x 2 5x 1 ,x 1. 0 1) 写出f (x ) 在x0 处的泰勒多项式 2) 写出f (x ) 在x0 处带皮亚诺余项的1阶与2阶泰勒公式。 解: 1)由于f (x ) 是多项式,那么它在x0 处的泰勒多项式(泰勒级数)就是它本身. 3 2 3 2 f (x ) x 2x 5x 1 [(x 1) 1] 2[(x 1) 1] 5[(x 1) 1] 1 1 2 1 3 5 4(x 1) [2(x 1) ] [6(x 1) ] 2 3! (2) f (x) 3x2 4x 5;f (x) 6x 4;f (x ) 6 所以带二阶拉格朗日余项的泰勒公式是: 6x 4 2 f (x) 5 4(x 1) [(x 1) ] ,其中x 介于x与1之间; 2! 带三阶拉格朗日余项的泰勒公式是: 1 2 1 3 f (x ) 5 4(x 1) [2(x 1) ] [6(x 1) ] 2 3! (注意:n次多项式的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式就是其本身!) 2.求下列极限 3 2 x 1 6 sin( ex 1) (esin x 1) (1)lim x x e x 1 x ; (2)lim ; x 2 x 0 sin 4 3x 2 n 1 1 n (3)lim . n n e 解 (1)(泰勒公式) Page 1 of 9 作者:闫浩 2011 年9 月 3 2 x 1 6 3 2 x 1 3 1 lim x x ex 1 x lim x x ex x 1 6 x 2 x 2 x 3 2 x 1 1 1 1 1 1 3 1 lim x x 1 o x 1 o 2 3 3 3 x 2 x 2 x 6 x x x 1

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