闫浩-微积分B（1）第12次习题课答案.pdfVIP

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2018-01-15 发布于浙江
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作者：闫浩 2011 年9 月微积分B(1)第十二次习题课题目参考答案（第15 周） 1．考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明： ( 1) ln(1 x ), x a ；(2) nx , x (,) (3) ( 1)n ． n ln2 n 5 2 n2 1 n x n sin x n1 n1 x 1 n (4) ln(1 ),x [1,) （5 ） 2 sin , x (0, ) 2 n n2 n ln n n1 3 x 2 x (6) 2 ,x (,) n1 (1 x ) x 3 a a 解：( 1) 当n 充分大时， ln(1 2 ) 2 ，且 2 收敛，由Weierstrass n ln n 2 n ln n n2 n ln n 比较判别法知一致收敛 nx nx 1 1 (2) 5 2 5 3 ，且 3 收敛，由Weierstrass 比较判别法知一致收敛 1 n x 2n 2 x 2n 2 n1 2n2 np k ( 1) 1 1 (3) 莱布尼茨级数，，故由柯西收敛准则知一致收敛 k n1 k sin x n 1 sin x n （4）设x n ln2 n ，则u (x ) ln 2 不趋于0，故非一致收敛 n n n 2 (5) 设x ( )n ，则u (x ) 1 0不趋于0，故非一致收敛 n 3 n n 2 1, x 0 x (6) 2 连续，S (x) 不连续，故非一致收敛 (1 x ) 0, x 0 1 内有连续导数．求证： 2．设f (x ) 在区间( , ) g n (x ) n f x f (x) n