数学竞赛客观题的解题策略.docVIP

精品论文 参考文献 数学竞赛客观题的解题策略 高 天 峰（西华师范大学数学与信息学院 四川 南充 637000） 中图分类号：O1 文献标识码：A 数学竞赛中客观性试题的量相对较为稳定，这些题目无论从试题的结构、形式，还是从分析、求解，都有独到、新颖之处。面对这些试题，怎样合理、科学地分析，进而快速、准确地求解，不仅影响考生应答全卷的心情，而且对后面几道大题求解思路的产生也将有重大影响，下面本文将结合具体的一些高中数学竞赛试题中客观题的实例，对高中数学竞赛客观题的几种解题策略进行探讨。 一、合理预测（合情猜测）：依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路（信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、图形特征、命题特征。） 例1、设为正实数，且满足， 则x+y+z的最小值为 。（2004女子奥林匹克） 分析：预测当x+y+z取最小值时， 因为，所以即证记为（）式 由、、， 即有， 即xy+yz+zxge;1，给（＊）式平方即只需证xy+yz+zxge;1 所以命题成立，即x+y+z最小值为 例2、四面体P－ABC的6条棱长的和为iota;，且ang;APB＝ang;CPA＝90O，则四面体的体积的最大值是 。（第5届美国数学奥林匹克） 分析：设PA=，PB=，PC= 易知, 可以看出上式都是关于a、b、c的轮换对称式。 预测当a+b+c体积最大， 事实上： 即 ，此时 显然，以上两个不等式中等号成立的条件均为， 故答案为。 二、极端原理法：通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律） 例3、在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）。 （1994，全国高中数学联赛） A、 B、 C、 D、 分析：当棱锥的顶点无限接警底面时，两侧面所成的角无限接近于；正棱锥的高无限增大时，二面角无限接近于正n边形的一个内角，即，因此应选（A）。 例4、设四面体四个面的面积为S1、S2、S3、S4,它们中最大的为S。 记，则lambda;一定满足（ ）。 （1992，全国高中数学联赛） A、 B、 C、 D、 分析：若四面体是正四面体，则，否则；若四面体相对于某一面的高无限接近于，否则。因此应选（A） 三、合理构造：通过观察给定条件或结论的结构特征，合理构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决 合理构造法分成两种类型： （一）模型性构造：构造函数、方程、图形、数列、不等式、复数等模型； （二）技巧性构造：构造对偶式、抽屉、算法。）； 例5、函数的最大值为 。 （1992，全国高中数学联赛） 分析：可构造为：动点到两定点、的距离之差，由于动点的轨迹为抛物线，作图易得最大值为。 例6、设其中、、、是常数。如果，，，则 。 （1998，广东省中山市数学竞赛） 分析：依据，，， 构造 故： + 四、变换视角：在解题过程中，当思维受到阻碍时，不妨转换一个角度来思考问题 例7、若，则的整数部分为（ ）。 A、1997 B、 1998 C、1999 D、2000 （第8届“希望杯”高二试题） 分析：由得 令，得 由于，， 于是， 故答案应选（B） 例8、方程的解为 。 分析：去根号求解很难进行下去，变换视角比较与的大小，若，则 与已知矛盾；同理若也与已知矛盾。 故有，解得。 五、取特殊值法：通过取特殊值可以排除某些选项，简化推理及运算过程，利用一个恰当的特殊值可以取道事半功倍的效（对于一些数学问题，我们往往也可以用此思想，从特殊的情况出发,取特殊值探讨出问题的结论,推广到任意情况下，从而达到训练思维的目的。在数学教学中，重视和灵活使用特殊化策略，对培养思维的主体性、独创性、批判性、变通性等创新思维品质，大有裨益。 ） 例9、设且， 则的值为 。 （1992，上海市初中数学竞赛） 分析：由，取特殊值，令，， 代入 故，得= 例10、设函数，若实数使得对任意实数x恒成立，则的值等于（ ）。 （2007，全国高中数学联赛） A、 B、 C、 D、1 分析：由，可得 将、代入， 化简得： 取特殊值，令，得 因此答案应选（C） 六、巧设辅助元（换元法）：根据题目条件与结论的结构和内在特征，恰当地引进辅助元素，往往可以化繁为简，化难为易（换元的