线性代数---第五章 相似矩阵与二次型 5.6 正定二次型.pdfVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §5.6 正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定 三、负定二次型的概念 四、小结 思考题 第五章 相似矩阵与二次型 一、正定二次型的概念 定义5.6.1 设f X AX 为实二次型 , 如果对任意   n维列向量X 0, 都有f X AX 0, 则称f X AX 为 正定二次型, 并称对称矩阵A是正定矩阵;如果对任   意n维列向量X 0, 都有f X AX 0, 则称f X AX 为半正定二次型, 并称对称矩阵A是半正定矩阵. 例如f x 2 x 2 x 2 为正定二次型 1 2 n f x 2 x 2 x 2 (r n )为半正定二次型 1 2 r 第五章 相似矩阵与二次型 二、正定二次型的判别 定理5.6.1 实二次型f X AX 为正定的充分必要条件 是其标准形(5 13)式中n个系数全大于零. 证:设二次型f X AX 经可逆线性变换 X CY 化为标准形 f y 2  y 2  y 2 1 1 2 2 n n 充分性: 若 0(i 1,2, , n)，对于任意的X 0，则有 i Y C1 X 0 故 f (X ) f (CY ) y 2 y 2 y 2 0 1 1 2 2 n n 即二次型f 正定. 第五章 相似矩阵与二次型 必要性(反证法) 假设存在某个 0，取Y e (单位向量)， s s 当X Ce 0，则有f (X ) f (Ce )  0. s s s 上式与f 为正定二次型矛盾，因而 0(i 1,2, ,n ). i 推论1 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是A 的 特征值全为正. 推论2 实二次型f X AX 为正定的充分必要条件 是它的规范标准形为f y 2 y 2 y 2