利用向量之内积推求与另一条直线垂直的直线文件.PDFVIP

提要 210 ：利用向量之內積推求與另一條直線垂直的直線 平面上兩條相互垂直的直線之推求方法 平面上的直線在三度空間中，其實就是另外一個平面。故平面上兩條相互垂直的  中之係 直線，可考慮為兩個相互垂直的平面。而平面的純量表示法a x a y a z c 1 2 3 數所構成的向量 a , a , a  ，即相當於垂直於該平面之向量。 1 2 3 圖 1 平面上兩條相互垂直的直線其實也可視為兩個相互垂直的平面 如圖 1所示之兩垂直線，可視為與 xy 平面相互垂直之另外兩個平面，因此這兩 個平面之法線向量分別為     a , a ,0 與 b ,b ,0 。由於這兩個平面互相垂直，所以其法 1 2 1 2     線向量亦呈相互垂直狀態，故 a , a ,0 b , b ,0 0 ，亦即a b a b 0 。 1 2 1 2 1 1 2 2 範例一   試推求平面上通過點 P : 1,3 並與直線L2 : x 2y 2 0相互垂直的直線 L1 ，如圖 2所示。 圖 2 平面上兩條相互垂直的直線 解答： 已知直線L : x 2y 2 0 ，其法線向量為1,2,0 。設與其相互垂直的L 之直線方 2 1 程式為 a x a y c ，則直線L 之法線向量為 a , a ,0 。因為兩直線互相垂直，故其法 1 2 1 1 2 線向量亦呈相互垂直狀態。由正交性定理知，兩個相互垂直的向量之內積為零，故： 1,2,0a , a ,0 0 1 2 上式可化簡為： a1 2a2 0 (1)   由題意知，直線 L 亦通過點P : 1,3 ，故可將P點座標代入 L 之直線方程式，亦即： 1 1 a1 3a2 c (2)