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南京航空航天大学灰色系统研究所 第五章 GM系列模型 引 言 基于概率统计的预测模型 GM系列模型 1.针对“小样本”、“贫信息”问 题，特点是少数据建模； 2.依据信息覆盖，通过序列算子的作 用挖掘事物运动的规律。 1.针对“随机不确定”现象； 2.要求大样本； 3.对象服从某典型分布。 本章结构 5.1 5.2 GM(1,1)模型的适用范围 5.3 残差GM(1,1)模型 5.4 GM(1,1)模型群 5.5 GM(0,N )模型 5.6 灰色 Verhulst模型（拓展内容） GM(1,1)模型的基本形式 GM(1,1)模型的基本形式 第一节 BACK 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1)模型4种基本形式： （1）均值GM(1,1)模型(EGM) （2）原始差分GM(1,1)模型(ODGM) （3）均值差分GM(1,1)模型(EDGM) （4）离散GM(1,1)模型(DGM) 为什么只讨论这四种基本形式？ 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 原始模型移项、均值模型移项、离散模型移项 原始差分模型、均值差分模型、离散差分模型 原始微分模型、均值微分模型、离散微分模型 3种基本模型 原始模型 均值模型 离散模型 3种求解思路 直接移项 求解 差分方程求解 微分方程求解 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1) 模型的原始形式 BACK 其中 Grey Model 1阶方程 1个变量 GM(1,1) 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 GM(1,1) 模型的白化方程 白化方程的解 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 BACK GM(1,1) 模型的均值形式 其中 差分方程的解 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 （1）原始形式差分方程的解 （2）均值形式差分方程的解 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 BACK GM(1,1) 模型的离散形式 其中 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 原始差分GM(1,1) 模型 BACK ODGM的时间响应式直接借助原始差分方程的解： 基于GM(1,1)模型的原始形式估计模型参数，直接以原始差分方程的解作为时间响应式所得模型称为GM(1,1)模型的原始差分形式，简称原始差分GM(1,1)模型（Original Difference Grey Model, ODGM） 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 均值GM(1,1)模型(EGM) BACK 定理3 均值GM(1，1)模型的时间响应式为： 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，借助白化微分方程式的解构造GM(1,1)时间响应式的差分、微分混合模型称为GM(1,1)模型的均值混合形式，简称均值GM(1,1)模型（Even Grey Model, EGM） 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 基于GM(1,1)模型的均值形式估计模型参数，直接以均值差分方程的解作为时间响应式所得模型称为GM(1,1)模型的均值差分形式，简称均值差分GM(1,1)模型（Even Difference Grey Model, EDGM）. 均值差分GM(1,1)模型 BACK EDGM的时间响应式直接借助均值差分方程的解： 5.1 GM(1,1) 模型的基本形式 离散GM(1,1)模型 BACK 称为GM(1,1)模型的离散形式 离散GM(1,1)模型的递推公式（时间响应式）为 GM(1,1)模型的适用范围 第二节 BACK 5.2 GM(1,1)模型的适用范围 明确均值GM(1,1)模型(EGM)、原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模过程中正确地选择模型提供参考和依据。 目的 分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振荡序列三类不同的序列进行模拟分析。 方法手段 5.2 GM(1,1)模型的适用范围 齐次指数序列模拟分析 BACK 基础序列 ,k=1,2,3,4,5 -a取值 分别取 分别取-a=0.01,0.02,0.03,0.04,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3, 0.35,0.4,0.45,0.5,0.55,0.6,0.65,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.5,1.8等25个实数 5.2 GM(1,1)模型的适用范围 齐次指数序列模拟分析 BACK 如-a=0.01,有 =(1.010050,1.020201,1.030455,1.040811,1.051271) 如-a=