第五章4对称矩阵的对角化.pptVIP

§4 对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 三、小结 * 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 , 即 那末 A 称为对称(矩)阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明 定理5　对称矩阵的特征值为实数. 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理5的意义 定理7 推论 定理6 即：特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； 证明 它们的重数依次为 　　根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 定理7 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 将特征向量正交化; 3. 2. 将特征向量单位化得 . 4. 5. 写出正交阵 ， 1. (2) 单位化 , 取 (1) 正交化 , 取 ， 施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization’s method ）: 解 例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1) 第一步 求 A 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 　　注矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 于是得正交阵 例4 解: 得A的特征值