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第五章 数值微分与数值积分 数值微分 Newton-Cotes 积分 N＝1时 梯形公式 N＝2时 Simpson公式 N＝4时，计算可得柯特斯系数为 柯特斯公式 其中 1、梯形公式 此处用了积分中值定理 误差 2、Simpson公式 注意到，Simpson公式有3次代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3次多项式估计误差 为0 猜想：N-C积分，对偶数有n＋1次代数精度，而奇数为n次代数精度。 定理3、当等分数n为偶数时，Newton－Cotes公式(5.5)至少具有n+1次代数精度。 证明：由定理1可知， (5.5)至少具有n次代数精度。下面只需证明，当n为偶数时，式(5.5)对f(x)=xn+1精确成立。也就是截断误差Rn[f]=0. 由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!，由式(5.6)得 令积分变量变换 ，因为n为偶数，故 为整数， 证毕。 复化求积公式 复化梯形公式 将区间[a,b]划分为n等分，分点 在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，则 记 （5.7） 称为复化梯形公式，其余项为 （5.8） 复化Simpson公式 将区间[a,b]划分为n等分，在每个子区间[xk,xk+1] 上采用Simpson公式，若记xk+1/2=xk+h/2，则 记 (5.9) 称为复化Simpson公式，其余项为 (5.10) 例7、已知某河宽为20m，测得水深f(x)如下表（单位：m）： 1.4 1.8 2.0 2.8 3.0 2.5 2.8 3.0 1.8 1.5 1.0 f(xk) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 xk 分别用复化梯形公式及复化Simpson公式计算河水的截面积 解：⑴用复化梯形公式。取n=10，步长h=2,于是 * * 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 函数f(x)过于复杂 这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值 微积分中，关于导数的定义如下： 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商 由Taylor展开 因此，有误差 向前差商 由Taylor展开 因此，有误差 向后差商 由Taylor展开 因此，有误差 中心差商 由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长 我们可以用事后误差估计的方法来确定 设D(h),D(h/2)分别为步长为h,h/2的差商公式。则 时的步长h/2就是合适的步长 f(x)=exp(x) -0.0032 3.1550 0.01 -0.0018 3.1600 0.06 -0.0007 3.1575 0.02 -0.0025 3.1607 0.07 -0.0001 3.1583 0.03 -0.0031 3.1613 0.08 -0.0006 3.1588 0.04 -0.0040 3.1622 0.09 -0.0008 3.1590 0.05 -0.0048 3.1630 0.10 R(x) f’(1.15) h R(x) f’(1.15) h 例： 插值是建立逼近函数的手段，用以研究原函数的性质。因此，可以用插值函数的导数近似为原函数的导数 误差 插值型数值微分 给定点列 且 ，求 解： 例1 余项 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 称为两点公式 给定点列 且 ，求 解： 例2 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 称为三点公式 例3 已知函数y=ex的下列数值 18.1741 16.4446 14.8797 13.4637 12.1825 y=ex 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 x 试用两点数值微分公式和三点数值微分公式计算x=2.7处函数的一、二阶导数值。 解：取h=0.2，x0=2.5,x1=2.7,x2=2.9，计算结果如下： 取h=0.1，x0=2.6,x1=2.7,x2=2.8，计算结果如下： f’(2.7)与f’’(2.7)的真值都是14.87973…，上面计算表明，三点公式 比两点公式准确，步长h越小结果也越准确。 关于积分，有Newton-Leibniz公式 但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数f(x)的积分存在，但F(x)不能用初等函数表示，例如： 2、被积函数f(x)表达式未知，f(x)是用表格形式给出的。 3、用微积分中的换元积分、分部积分等方法能积出f(x)的原函数，但过程复杂（比如复杂的有理函数积分）。 数值积分 积分中值定理告诉我们 若f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点