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厦门大学数学科学学院 第八章 二次型Quadratic Form 二次型与相伴对称矩阵_1 定义 数域K上的n元二次齐次多项式 称为K上的n元二次型,简称二次型. §8.1 目的与要求 掌握二次型与相伴矩阵的一一对应关系 二次型的非退化线性替换与对称矩阵的合同关系 二次型与对称矩阵的标准型 二次型与相伴对称矩阵_2 定义 这里A’=A∈Kn×n,X∈Kn×1.A称为f 的相伴矩阵,f 称为对称阵A的相伴二次型. {数域K上n元二次型} {数域K上n阶对称矩阵}. 例子 例1 判断下列多元多项式是否为二次型: 例2 求下列二次型的相伴矩阵: 例3 求下列矩阵的相伴二次型: 是否任何二次型都可”变成”只含平方项?(标准型) 是否任何对称阵都可”变成”对角阵? 二次型的非退化线性替换与矩阵的合同 设 f (x1,…,xn) = X’AX是K上n元二次型, 做非退化线性替换X=CY, 其中C是K上的n阶可逆阵, 则 f ( x1,…,xn ) = Y’C’ACY = g( y1,…,yn ). 定义: A , B∈Kn×n , B与 A称为合同的,如果存在n阶可逆阵C, 使B = C’AC. 注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同且A’= A, 则B’=B. 注 3: 若A与B合同且A’= -A, 则B’= - B. 例子 例4 讨论以下运算的含义 Pij’APij Pi(c)’A Pi(c) Tij(c)’A Tij(c) 注 Pij’APij不能调换对角线和非对角线元素, 即对角线元素只能调换到对角线上，非对角线元素只能调换到非对角线上。只有Tij(c)’A Tij(c)才可能将0对角元变成非0。 二次型的标准型 引理:设0≠A’=A∈Kn×n,则必存在可逆阵C,使C’AC的第(1,1)元素不等于0. 定理:设A’=A∈Kn×n,则存在可逆阵C∈Kn×n,使C’AC为对角阵. 定理’:设 f (x1…xn) 是K上n元二次型, 则存在非退化线性替换X=CY,使 注 以上定理可直接从线性替换证明(选做) 例子 例5: 复数域上任一n阶对称方阵A, 必存在n阶方阵矩阵T, 使得A=T’T且r (T) = r (A). 例6:设A是反对称阵, 即A’= -A∈Cn×n, 则A必合同于 且若r(A)=2r, 则有r个S. 例子 例7: 若A是实反对称阵, 则A的行列式总是非负实数. 例8: 元素全是整数的反对称矩阵的行列式一定是某个整数的平方. 以上定理可直接从线性替换证明(选做) 如何化二次型为标准型? 标准型唯一吗? 标准型的分类(与数域的关系)? 作业 作业: p272 1, 3, 4 思考: p272 2 选做: 补充1: 如果A是n阶对称阵, 且对任意一个n维向量X, 都有X’AX=0, 证明A=0. 补充2: 证明A是n阶反对称阵的充要条件是对任意一个n维向量X, 都有X’AX=0. §8.2 目的与要求 掌握二次型的化简方法 配方法 初等变换法 求相应的非退化线性替换 掌握对称矩阵合同于对角阵的计算, 并求出相应的可逆矩阵C 二次型的化简 二次型的化简方法: - 配方法 - 初等变换法 - 相应非退化线性替换 例子 例1:化下列二次型为标准型,并写出所用的可逆变换矩阵. 1) 2) 3) 例子 注 令 得 该结论是错误的! 因(*)是退化的线性替换. §8.3 目的与要求 掌握二次型与对称矩阵在C和R上的规范标准型 熟练掌握不同数域上两矩阵合同的充要条件及全系不变量 掌握不同数域上二次型的规范标准型及相应的非退化线性替换的计算 C上二次型的规范型_1 定理: A’=A∈Cn×n且r(A)=r, 则存在可逆阵C∈Cn×n, 使得 右端矩阵称为A的规范标准型. 定理’: f (x1,…,xn) 是C上n元二次型, 则必存在非退化线性替换X = CY, 使 C上二次型的规范型_2 注1 C上对称矩阵A合同B?r(A)=r(B). 即 秩是复数域上对称矩阵合同的全系不变量. 注2 设A为C上对称阵, 则 当|A|≠0时, A*, A－1均与A合同; 当|A|＝0时, 则A*未必与A合同. R上二次型的规范型_1 定理: f (x1…xn) 是R上n元二次型, 则必存在非退化线性替换使 定理’: A’=A∈Rn×n,则存在可逆阵C∈Rn×n,使得 其中p + q = r( A ). 惯性定理_1 惯性定理:设f (x1…xn) 是R上n元二次型,在非退化线性替换X = CY, X = DZ下, 其