二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线.pptVIP

* § 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 三、直径与共轭直径 双曲型 抛物型 椭圆型 相异的实点 重合的实点? 共轭的虚点 ?×l∞= ?A33的符号仿射不变. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0). 性质. 在以有心二阶曲线?的中心为束心的线束中, 直径与共轭直径的对应是一个对合. 四、渐近线 1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 注3. 双曲线 椭 圆 有两条 实 虚 渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 从而, 渐近线只对有心二阶曲线讨论. § 4.6 二次曲线的仿射理论 § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 1. 定义 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭直径. 双曲线 双曲型对合 椭 圆 椭圆型对合 § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线 求Γ的渐近线方程. 法一. 利用对合不变元素. 在 中, 令k=k得不变元素方程为 此方程的两根即为渐近线方向. 设两根为ki(i=1,2), 分别代入 即可得两渐近线方程. 评注：此法简单且直接, 但若上述参数表示中的两基线之一为渐近线, 则ki中应有0或∞, 实际计算时容易丢失一条渐近线. § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法简单且直接, 只要求出中心的非齐次坐标, 渐近线的方程即可直接写出(一般可不分解为两个一次式). 法二. 利用中心和渐近方向. 这表示过原点的两直线, 其上无穷远点即为?与l∞的交点, 从而它们平行于两渐近线, 化为非齐次, 得 设中心的非齐次坐标为(?, ?). 则渐近线的方程为 § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 评注：此法推导繁, 实用不繁, 因为在做题时, 首先判断是否退化, |aij|已有, 再判断是否有心, A33也已知, 从而?为已知. 法三. 利用切线方程. 渐近线为过中心的切线, 将中心P(A31,A32,A33)代入SppS=S2p, 即得渐近线方程. 现对此法进行整理, 因为 由于P为中心, 所以上式前二项的系数等于0, 从而 将中心坐标代入, 得 由此又得 从而, 过中心的切线(渐近线)方程为 令 得渐近线方程为 § 4.6 二次曲线的仿射理论 四、渐近线 3. 求渐近线方程 例1. (P.142, 例4.22) 求双曲线x2+3xy-4y2+2x-10y=0的渐近线方程. 解. 法一、法二. 见教材. 以下分析法三. 有两种途径. 途径一. 直接计算|aij|和A33, 然后求出?, 即可写出方程(4.42). 途径二. 因为渐近线的方程为 (4.42)表示一条退化二阶曲线, 退化为两条相交直线(渐近线). 故 从中解出?, 代入(4.42)即可. 这是教材上的方法. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例2. (P.143, Ex. 5)求下列两二阶曲线的公共共轭直径 解. 经验证, 两曲线均为非退化有心二阶曲线(椭圆), 有公共的中心为坐标原点. 所以可能有公共的共轭直径. 两曲线的共轭方向方程(即直径与共轭直径的对合)分别为 联立上述, 解出公共的共轭方向为 分别代入直径方程(4.37), 得到公共共轭直径的方程为 § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例3. 双曲线的任一切线交两渐近线于两点, 求证：切点是此二交点连线的中点. 证明. 如图, 只要证(PQ, MN∞)=–1. 为此, 只要证CM, CN∞为一对共轭直径. M的极线为PQ C的极线为l∞ CM的极点为l∞?PQ=N∞ N∞的极线为CM C的极线为l∞ CN∞的极点为l∞?CM=M∞ CM, CN∞为一对共轭直径. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五、应用举例 例4. (P.144, Ex.9)任一直线交双曲线与两渐近线成相等线段. 证明. 目标：PA=BQ. 取AB中点M, 则 从而, M在N∞的极线上. CM, CN∞为一对共轭直径. 于是有 即M也是PQ的中点, 于是有PA=BQ. § 4.6 二次曲线的仿射理论 五